《測(cè)圓海鏡》原名《測(cè)圓海鏡細(xì)草》,是中國(guó)古代重要數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作，宋元數(shù)學(xué)高潮的代表作之一。元李冶1248年撰。李冶去世后不久即被刊刻，今已不存。目前所存最早抄本為元明間宋景濂(宋濂之字，1310—1381)所抄，清轉(zhuǎn)入丁杰手中，今藏北京圖書(shū)館。明代數(shù)學(xué)落后，數(shù)學(xué)家不能理解宋元的高深成就，顧應(yīng)祥撰《測(cè)圓海鏡釋術(shù)》(1500)買(mǎi)櫝還珠，刪去該書(shū)中最精彩的列方程方法——天元術(shù)。清中葉李潢(?—1812)家藏一本，乾隆間由館臣抄錄，略加校勘，抄入《四庫(kù)全書(shū)》。18世紀(jì)末阮元(1764—1849)由《四庫(kù)全書(shū)》文瀾閣本抄得一部，嘉慶二年(1797)囑李銳將此本與丁杰藏本合校，保留了四庫(kù)館臣按，補(bǔ)充了新設(shè)四率及若干按語(yǔ)，次年由鮑廷博刻入《知不足齋叢書(shū)》,此后《白芙堂算學(xué)叢書(shū)》本、同文館集珍本、《古今算學(xué)叢書(shū)》本、《叢書(shū)集成(初編)》本均是《知不足齋叢書(shū)》本的翻刻本或排印本。
李冶(1192—1279),字仁卿，號(hào)敬齋，原名李治，金元數(shù)學(xué)家、文學(xué)家、歷史學(xué)家，真定欒城(今河北省欒城縣)人，生于大興城(今北京市)。其父李遹，金明昌詞賦科進(jìn)士，是能詩(shī)善畫(huà)博學(xué)多才的學(xué)者，且剛直不阿，為政清廉。李冶自幼受到良好的道德品質(zhì)教養(yǎng)和深厚的傳統(tǒng)文化教養(yǎng)。金正大七年(1230)中詞賦科進(jìn)士，任鈞州(今河南省禹縣)知事，時(shí)元與南宋聯(lián)合滅金，1232年元兵破城，李冶遂微服北渡，流落忻、崞(今山西省北部)間，開(kāi)始了艱苦卓絕的學(xué)術(shù)生涯。他?！梆嚭荒茏源妗?卻毫不介意，“聚書(shū)環(huán)堵”,從事數(shù)學(xué)及文史研究，完成《測(cè)圓海鏡》12卷。后來(lái)到太原、平定，經(jīng)濟(jì)條件有所好轉(zhuǎn)。1251年回到少年求學(xué)的元氏縣封龍山隱居，主持封龍書(shū)院，1259年完成《益古演段》3卷。不管是流離頓挫，還是安定的隱居，他“未嘗一日廢其業(yè)，手不停披，口不絕誦，如是者幾五十年”,成為“經(jīng)為通儒，文為名家，其名德雅望又為一時(shí)衣冠之龍門(mén)”的大學(xué)者。他與元好問(wèn)、張德輝交往甚密，時(shí)人譽(yù)為龍山三老。忽必烈聞李冶賢，1257年5月在開(kāi)平召見(jiàn)了他，李冶向忽必烈表達(dá)了進(jìn)君子、退小人，主張任人唯賢，反對(duì)種族偏見(jiàn)，減刑罰，止征伐的政治主張，這就是有名的王庭對(duì)問(wèn)。1260年，忽必烈即皇帝位，次年又在燕京(今北京)召見(jiàn)李冶，聘為翰林學(xué)士、知制誥、同修國(guó)史，但李冶具有獨(dú)立思想，且過(guò)慣了木石為居、麋鹿與游的田園生活，羞于作“翰林視草，唯天子命之，史館秉筆，以宰相監(jiān)之”的御用文人，一年后便以老病為辭還山，直至1279年去世。李冶一生著述頗豐，有《敬齋古今黈》40卷(今存宗于明刻本的12卷本及由《永樂(lè)大典》輯錄的8卷本兩種),表達(dá)了他對(duì)歷代詩(shī)文、歷史事件、人物品評(píng)、各種見(jiàn)聞以及修身養(yǎng)性等各方面的獨(dú)到見(jiàn)解；還有《壁書(shū)叢削》12卷、《文集》40卷，已失傳，《泛說(shuō)》40卷，也失傳，只有個(gè)別條目附于《敬齋古今黈》。李冶臨終前對(duì)其子說(shuō)：“吾平生著述，死后盡可燔去。獨(dú)《測(cè)圓海鏡》一書(shū)，雖九九小數(shù)，吾嘗精思致力焉，后世必有知者，庶可布廣垂永乎？”表明他最得意的還是《測(cè)圓海鏡》。在自序中，他論述了事、技、道的關(guān)系，指出圣人并不排斥事、技，批評(píng)了道學(xué)家視研究科學(xué)技術(shù)和實(shí)際問(wèn)題為玩物喪志的錯(cuò)誤看法，批評(píng)了輕視數(shù)學(xué)的習(xí)俗，表示了不計(jì)憫笑、矢志研究數(shù)學(xué)的決心。他還認(rèn)為，說(shuō)數(shù)學(xué)難研究是可以的，說(shuō)數(shù)學(xué)不能研究，是不對(duì)的；認(rèn)為數(shù)學(xué)出于自然，不能以力強(qiáng)窮之，若“推自然之理，以明自然之?dāng)?shù)”,則什么問(wèn)題都可以解決。這些看法至今仍有教益。
《測(cè)圓海鏡》12卷，170問(wèn)，取“天臨海鏡之義”,以測(cè)圓問(wèn)題為核心，以天元術(shù)為主要方法。卷1是全書(shū)的預(yù)備知識(shí)和理論基礎(chǔ)，包括圓域圖式，總率名號(hào)，今問(wèn)正數(shù)，識(shí)別雜記4部分，圓域圖式是全書(shū)的總圖，表示了圓與15個(gè)勾股形的相互位置，用天、地、乾、坤、巽、艮、日、月、山、川、東、西、南、北、心等表示點(diǎn)，相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)用A、B、C、D表示點(diǎn)，是個(gè)創(chuàng)舉?？偮拭?hào)定義了15個(gè)勾股形：通勾股形、邊勾股形、底勾股形、黃廣勾股形、黃長(zhǎng)勾股形、上高勾股形、下高勾股形、上平勾股形、下平勾股形、大差勾股形、小差勾股形、極勾股形、虛勾股形、明勾股形、勾股形及其各邊。今問(wèn)正數(shù)則以通勾股形的勾、股、弦320、600、680為基數(shù)，給出勾、股、弦各種關(guān)系的數(shù)值。識(shí)別雜記包括692條公式，闡明各勾股形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系及其與圓徑的關(guān)系，分別歸于諸雜名目、五和五較、諸弦、大小差、諸差、諸率互見(jiàn)、四位相套及拾遺八項(xiàng)，這些公式經(jīng)過(guò)證明，除8條外都是正確的，是為集前此中國(guó)學(xué)者關(guān)于圓與勾股形關(guān)系知識(shí)之大成。全書(shū)的其他公式、各類(lèi)問(wèn)題的解法均可由這些公式推出，其中諸雜名目包括了若干基本公式，尤以最后10個(gè)圓徑公式最為重要，是識(shí)別雜記乃至全書(shū)的綱。測(cè)圓問(wèn)題源于《九章算術(shù)》勾股容圓問(wèn)，到宋元時(shí)期，發(fā)展為一項(xiàng)重要的專(zhuān)題研究，洞淵九容就是李冶之前關(guān)于這一課題的成果，九容是關(guān)于勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半9種情況下圓徑與勾股形三邊的關(guān)系公式(也有人認(rèn)為包括勾股容圓而無(wú)弦上容圓)。本書(shū)便是在洞淵九容基礎(chǔ)上演繹出來(lái)的，其卷2便介紹了以上10種容圓的圓徑公式。卷3-10,依次依邊股、底勾、大股、大勾、明前、明后、大斜、大和、三事和配各事形成了不同的題目。卷11是綜合題目，卷12為“之分”。自卷2-12凡170問(wèn)都是求圓徑問(wèn)題，且答案亦同。各題分題目、答、法、草4部分。法列出解法，主要是開(kāi)方式即一元方程，草則說(shuō)明解法的推導(dǎo)過(guò)程，主要用天元術(shù)。
天元術(shù)是本書(shū)解題的主要方法，也是本書(shū)現(xiàn)在備受重視的原因所在。所謂天元術(shù)就是設(shè)未知數(shù)列方程的方法：先設(shè)某為天元一(相當(dāng)于現(xiàn)今設(shè)某為未知數(shù)x),然后根據(jù)問(wèn)題的條件，列出兩個(gè)等價(jià)的天元式即多項(xiàng)式，將此兩天元式如積相消，便得到一個(gè)開(kāi)方式即今之一元二次或高次方程。這實(shí)際上是一種半符號(hào)代數(shù)學(xué)。從本書(shū)可以看出，李冶已熟練地掌握了多項(xiàng)式的加、減、乘、除(只限于除數(shù)為單項(xiàng)式)。天元式的表示法是在未知數(shù)右側(cè)記一“元”字，或在常數(shù)項(xiàng)旁記一“太”字，未知數(shù)的其他冪次則分列于“元”或“太”之上下，依位置定其冪次。天元術(shù)產(chǎn)生于何時(shí)，書(shū)簡(jiǎn)有缺，難以詳考，其記法也有一個(gè)發(fā)展過(guò)程。據(jù)李冶說(shuō)，最初人們用人表示常數(shù)項(xiàng)，人之上“天、……仙”9個(gè)字表示未知數(shù)的正冪，人之下“地、……鬼”9個(gè)字表示其負(fù)冪。李冶時(shí)代有古法圖式：以太代替人表示常數(shù)項(xiàng)，省去天、地之外的各字，以天元在上表示正冪，地元在下表示負(fù)冪，又有今法圖式：天元在下表示正冪，地元在上表示負(fù)冪。李冶處于天元式記法簡(jiǎn)化及由古法向今法過(guò)渡的階段。他在本書(shū)中用古法，但取消表示負(fù)冪的地元，確定了元或太之后，其余冪次皆由其與元(或太)的相對(duì)位置決定。如1、2元3、4便表示x2+2x+3+4x-1,這是李冶的貢獻(xiàn)。后來(lái)在《益古演段》中他又改用今法，即高次冪在下。
對(duì)本書(shū)的開(kāi)方法李治沒(méi)明確說(shuō)明。數(shù)學(xué)史界公認(rèn)是用增乘開(kāi)方法。他的開(kāi)方式的系數(shù)可正、可負(fù)，可以是小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)水遠(yuǎn)為負(fù)的限制。本書(shū)在開(kāi)方中也處理了常數(shù)項(xiàng)變號(hào)與絕對(duì)值增大的情況，分別稱為翻法(或倒積)與益積，前者相當(dāng)于秦九韶的“換骨”,后者相當(dāng)于“投胎”。本書(shū)中十進(jìn)小數(shù)的概念，也十分明確，也以名數(shù)單位起小數(shù)點(diǎn)的作用。