今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問中間二節(jié)欲均容，各多少？
術(shù)曰：以下三節(jié)分四升為下率，以上四節(jié)分三升為上率。(劉徽注：此二率者，各其平率也。)上、下率以少減多，馀為實(shí)。(劉徽注：按：此上、下節(jié)各分所容為率者，各其平率。上、下以少減多者，馀為中間五節(jié)半之凡差，故以為實(shí)也。)置四節(jié)、三節(jié)，各半之，以減九節(jié)，馀為法。實(shí)如法得一升，即衰相去也。(劉徽注：按：此術(shù)上、下節(jié)所容已定之節(jié)，中間相去節(jié)數(shù)也。實(shí)者，中間五節(jié)半之凡差也。故實(shí)如法而一，則每節(jié)之差也。)下率一升少半升者，下第二節(jié)容也。(劉徽注：一升少半升者，下三節(jié)通分四升之平率。平率即為中分節(jié)之容也。)

漢《九章算術(shù)·均輸》

【評】此實(shí)際上是等差級數(shù)問題，《九章算術(shù)》用衰分術(shù)求各項(xiàng)。相去衰，即公差。
今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何？
術(shù)曰：……求良馬行者，十四乘益疾里數(shù)而半之，加良馬初日之行里數(shù)，以乘十五日，得十五日之凡行?！苍拿摯松鲜?，戴震校補(bǔ)?！场篑w馬行者，以十四乘半里，又半之，以減駑馬初日之行里數(shù)，以乘十五日，得駑馬十五日〔原文脫以上六字，戴震補(bǔ)?！持残?sup>①?！?br>

漢《九章算術(shù)·盈不足》

〔注〕①包括此兩段在內(nèi)的文字，戴震、錢寶琮認(rèn)為是劉徽注，汪萊、李潢認(rèn)為是《九章算術(shù)》經(jīng)文。蓋此及此前三十九字，原本皆作注文。戴震將前三十九字改作經(jīng)文。
【評】《九章算術(shù)》有幾個等差級數(shù)的問題，然項(xiàng)數(shù)太少，并且只求各項(xiàng)或公差。此處卻含有等差級數(shù)前n項(xiàng)和公式S_n＝(a₁+d)n,及第n項(xiàng)的公式a_n＝a₁+(n-1)d,其中d是公差。是為中國數(shù)學(xué)史上第一次出現(xiàn)的等差級數(shù)公式。
今有女善織，日益功疾。初日織五尺，今一月，共織九匹三丈。問日益幾何？
術(shù)曰：置今織尺數(shù)，以一月日而一，所得，倍之。又倍初日尺數(shù)，減之，馀為實(shí)。以一月日數(shù)初一日減之，馀為法。實(shí)如法得一。

南北朝北魏《張丘建算經(jīng)》卷上

【評】此為中國數(shù)學(xué)史上首次出現(xiàn)的已知等差級數(shù)首項(xiàng)a₁,項(xiàng)數(shù)n,前n項(xiàng)和S_n,求公差d的公式：d=。
今有女子不善織，日減功遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？
術(shù)曰：并初、末日織尺數(shù)，半之，馀，以乘織訖日數(shù)，即得。

南北朝北魏《張丘建算經(jīng)》卷上

【評】此為已知等差級數(shù)首項(xiàng)a₁,末項(xiàng)a_n,項(xiàng)數(shù)n,求其前n項(xiàng)之和的公式S_n＝(a₁+a_n)n。它與《九章算術(shù)》(或劉徽)的公式等價(jià)。
今有戶出銀一斤八兩一十二銖。今以家有貧富不等，令戶別作差品，通融出之。最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩。問戶幾何？
術(shù)曰：置一戶出銀斤兩銖數(shù)，以最下戶出銀兩銖數(shù)減之，馀，倍之，以差多兩銖數(shù)加之，為實(shí)。以差兩銖數(shù)為法。實(shí)如法而一。

南北朝北魏《張丘建算經(jīng)》卷中

【評】此為已知等差級數(shù)的首項(xiàng)a₁,公差d,各項(xiàng)的平均數(shù)a,求其項(xiàng)數(shù)n的公式：n=〔2 (a-a₁)+d〕/d。