《九章算術(shù)》唐宋間又稱《九章算經(jīng)》、《黃帝九章算經(jīng)》,是中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典，《算經(jīng)十書》之一。其本文為西漢張蒼、耿壽昌在先秦遺文基礎(chǔ)上結(jié)合當(dāng)時(shí)實(shí)際先后刪補(bǔ)而成。傳本《九章算術(shù)》合本文、魏劉徽注、唐李淳風(fēng)等注釋于一體。在唐末已有幾個(gè)文字稍有歧異的抄本。北宋元豐七年(1084)首次由秘書省刊刻，今不傳。南宋鮑澣之嘉定六年(1213)翻刻，至清初僅有一孤本，存卷1—5,今藏上海圖書館。1980年，文物出版社影印，收入《宋刻算經(jīng)六種》。清康熙元年(1662)毛扆影抄南宋本，是為汲古閣本，后轉(zhuǎn)入清宮，今存臺(tái)北故宮博物院。1932年，北平故宮博物院影印，收入《天祿琳瑯叢書》。明修《永樂大典》,取另一抄本分類抄入算字條諸卷，今存卷16343,16344,含本書卷3之下半卷及卷4的內(nèi)容；藏劍橋圖書館，1960年，中華書局影印。清乾隆間修《四庫全書》,戴震于乾隆三十九年(1774)從《永樂大典》輯出本書，加以?？?、補(bǔ)圖、略加注釋，抄入《四庫全書》,又收入《武英殿聚珍版叢書》。戴震又于乾隆四十一、四十二年取汲古閣本與《永樂大典》輯本先后兩次合校，分別為屈曾發(fā)刻本及孔繼涵微波榭《算經(jīng)十書》本。戴震的輯錄?？倍枷哟质?。清李潢以微波榭本為底本作《九章算術(shù)細(xì)草圖說》(1812),亦作校勘，是為本書之最精詳闡釋。本書之聚珍版的光緒間福建補(bǔ)刊本、廣雅書局翻刻本都依據(jù)李潢本作了修改，《叢書集成(初編)》本依此排印。1963年，中華書局出版錢寶琮校點(diǎn)《九章算術(shù)》(收入《算經(jīng)十書》),以微波榭本為底本，參校諸本，提出若干校勘。取南宋本及由聚珍版、《四庫全書》本恢復(fù)的《永樂大典》輯錄本為底本，重加?？?，并以各本匯校，由遼寧教育出版社于1989年出版，是為匯校《九章算術(shù)》。
張蒼(?—前152),西漢初政治家、歷算學(xué)家。先仕秦，明習(xí)天下圖書計(jì)籍。后歸漢，以功封北平侯。遷為計(jì)相，主管各郡、國錢谷賦役統(tǒng)計(jì)。“漢家言律歷者，本之張蒼?！?《史記·張丞相列傳》)后為丞相。耿壽昌(生卒不詳)西漢末經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。宣帝時(shí)任大司農(nóng)中丞?！吧茷樗悖苌坦?。曾提出若干有效的經(jīng)濟(jì)措施。先秦貴族教育中便有“九數(shù)”的科目，九數(shù)即九部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，據(jù)東漢鄭玄引鄭眾說，為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、旁要，漢朝又有勾股、重差。劉徽說：“九數(shù)之流，則《九章》是矣?！睆埳n、耿壽昌皆以善算命世，先后收集先秦遺文，增補(bǔ)了許多當(dāng)時(shí)的方法、題目，并將旁要擴(kuò)充為勾股，是為本書。也有的學(xué)者認(rèn)為成書于公元1世紀(jì)或公元元年前后。
本書集先秦到漢中國人民數(shù)學(xué)知識(shí)之大成，凡九章，包括近百個(gè)普遍性公式、解法，246個(gè)應(yīng)用題。其主要部分采取算法統(tǒng)率應(yīng)用題的形式，即或先列出幾個(gè)例題，再給出抽象性術(shù)文，此時(shí)例題一般只有題目、答案，或先給出抽象性術(shù)文，再列出例題，此時(shí)例題一般有題目、答案及具體術(shù)文。有一部分(主要集中在衰分章下半章、均輸章的大部分及勾股章的解勾股形問題)的術(shù)文盡管其實(shí)質(zhì)有普遍性，卻不具有抽象性，而是具體問題的解法，這大約是張蒼、耿壽昌補(bǔ)充的內(nèi)容。
本書卷1方田章提出了世界上最早的完整的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則；卷2粟米章的今有術(shù)是比例問題解法，后來西方的三率法與此相同；卷3衰分章、卷6均輸章解決了比例分配問題及若干算術(shù)問題；卷7盈不足章提出了盈不足各種情形的一般解法及用之于解決算術(shù)雜題的方法。卷1方田章提出了若干平面圖形的面積公式；卷5商功章提出了若干多面體和圓體的體積公式及土方工程問題；卷9勾股章提出了勾股定理，若干解勾股形問題，勾股容方、容圓及若干簡單測望問題，其中有世界上最早的勾股數(shù)通解公式。卷4少廣章提出了世界上最早的完整的開平方、開立方程序，卷9還有一測望問題歸結(jié)到開帶從平方即求解二次方程；卷8方程章的方程術(shù)即現(xiàn)今線性方程組解法，是本書最杰出的成就，而正負(fù)數(shù)概念及其加減法法則超前其他文化傳統(tǒng)幾個(gè)世紀(jì)甚至上千年。本書確定了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架，以計(jì)算為中心的特點(diǎn)及理論密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)問題為目的風(fēng)格，以及算法統(tǒng)率應(yīng)用問題的基本形式。然而對數(shù)學(xué)概念沒有定義，對數(shù)學(xué)公式、解法沒有推導(dǎo)證明，是本書的嚴(yán)重缺點(diǎn)。此后，中國數(shù)學(xué)著述主要采用兩種方式，一是以本書為楷模編纂新的著作，一是為本書作注，其最重要的為魏劉徽注和唐李淳風(fēng)等注釋。
劉徽《九章算術(shù)注》在很大程度上彌補(bǔ)了本書的不足，就其數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)及重要性而言與本書不分軒輊。劉徽是魏晉間數(shù)學(xué)家，據(jù)考證為淄鄉(xiāng)(今山東省)人，生平不詳。魏陳留王景元四年(263)注本書，并自撰注“重差”作為第10卷，后“重差”以《海島算經(jīng)》為名單行。又撰《九章重差圖》一卷，已佚。
劉徽注全面論證了本書的公式、解法。它發(fā)展了本書的率概念，提出了率的定義：“凡數(shù)相與者謂之率”,并把率看成運(yùn)算的綱紀(jì)，提出率有“粗則俱粗，細(xì)則俱細(xì)，兩數(shù)相抱”的性質(zhì)，論述了率的二種等量變換：乘以散之，約以聚之，齊同以通之，用率論述了本書大部分算法，近200個(gè)題目。它提出今有術(shù)是普遍方法，九章中的許多問題的解法都可以歸結(jié)到此術(shù)，所謂今有術(shù)即比例方法，西方稱為三率法。它發(fā)展了前代數(shù)學(xué)家使用的出入相補(bǔ)原理，運(yùn)用該原理，證明了許多多邊形面積及多面體體積公式。將無窮小分割方法引入數(shù)學(xué)證明是劉徽注的最大成就。圓田術(shù)注用極限思想證明了圓田術(shù)“半周半徑相乘得積步”即圓面積公式。它用圓內(nèi)接正多邊形序列逼近圓，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！崩^而將與圓周合體的正多邊形分割成無窮多個(gè)小三角形，求其面積之和便完成了證明。它關(guān)于體積問題的論述已經(jīng)接觸到現(xiàn)代數(shù)學(xué)體積理論的核心問題。陽馬術(shù)注指出，鱉臑(四面體)是解決多面體體積的“功實(shí)之主”,與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的結(jié)論完全一致。它認(rèn)為用基驗(yàn)法與有限次分割，無法證明本書的陽馬(直角四棱錐)體積等于其長、寬、高之積的1/3,及鱉臑(四面皆為勾股形的四面體)體積等于其長、寬、高之積的1/6這兩個(gè)公式，遂將一個(gè)長方體沿相對兩棱斜解，得到兩個(gè)塹堵，將一個(gè)塹堵斜解，得到一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑，接著提出一個(gè)重要原理：在一個(gè)塹堵中，“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”即塹堵中陽馬與鱉臑體積之比恒為2∶1,它用三個(gè)互相垂直的平面平分塹堵的長、寬、高，首先證明了上述原理在塹堵的3/4中成立，又以同樣的方式分割剩余的1/4(為與原塹堵相似的兩小塹堵),又可證明上述原理在剩余的1/4的3/4中成立，這個(gè)過程可以無限繼續(xù)下去，“半之彌少，其余彌細(xì)。至細(xì)曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？”便證明了上述原理在整個(gè)塹堵中成立。根據(jù)該原理，由塹堵體積為其長、寬、高之積的1/2,便同時(shí)證明了本書的陽馬、鱉臑體積公式。數(shù)學(xué)大師高斯曾提出四面體體積的解決不借助無窮小分割是不可能的猜想，這一猜想后來成為希爾伯特“數(shù)學(xué)問題”的第三個(gè)問題(1900)的核心，并由希氏的學(xué)生給以肯定的解決。劉徽在他們之前約1600年就開始考慮該問題，并以此為基礎(chǔ)建立自己的多面體理論。劉徽注提出圓錐、圓臺(tái)、球分別與外切方錐、方臺(tái)、牟合方蓋(劉徽設(shè)計(jì)的一種立體)的體積之比為π∶4,批評了本書球體積公式的錯(cuò)誤，指出了解決球體積的正確途徑，為后來祖暅之原理的提出并最終解決球體積問題作了準(zhǔn)備。劉徽注把無窮小分割思想用于近似計(jì)算。首先是創(chuàng)造圓周率的正確求法，它批評本書使用周三徑一及前人“習(xí)其謬失”的錯(cuò)誤，利用割圓程序與勾股定理求出直徑為2尺的圓的內(nèi)接正6、12……96邊形的邊長及192邊形的面積，取314寸²為圓面積近似值，利用圓面積公式求出圓周長近似值6尺2寸8分，從而求出圓周率157/50,用同樣的方法又求出π=3927/1250。人們認(rèn)為，后來祖沖之利用這一方法將π值精確到8位有效數(shù)字。劉徽注指出本書弓形面積公式不準(zhǔn)確，便利用割圓方法，用一串三角形面積之和逼近弓形，可以把弓形面積精確到所需要的程度。在開方不盡時(shí)，它提出求微數(shù)的方法，與現(xiàn)今求無理根近似值的方法相同，不僅開后來十進(jìn)小數(shù)之先河，而且是計(jì)算圓周率精確近似值的重要步驟。求微數(shù)的思想及計(jì)算圓周率近似值的程序奠定了中國圓周率計(jì)算領(lǐng)先世界千余年的基礎(chǔ)。
劉徽注把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支與全部知識(shí)看成一個(gè)有機(jī)整體：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已?！边@個(gè)端就是“規(guī)矩度量可得而共”。這也形象地概括了中國數(shù)學(xué)以算法為中心，幾何問題與算術(shù)、代數(shù)問題相結(jié)合的特點(diǎn)。劉徽注論證嚴(yán)謹(jǐn)，條理清晰，沒有任何循環(huán)推理，并且以演繹邏輯為主。劉徽注還對學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的方法作了精辟論述，把數(shù)學(xué)方法比作庖丁的刃，“易簡用之則動(dòng)中庖丁之理”,認(rèn)為不懂得靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，徒按本術(shù)，便是膠柱調(diào)瑟之類。這些思想對后世影響極大。
李淳風(fēng)(602—670),唐初天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。岐州雍(今陜西省鳳翔縣)人。貞觀初入太史局，造渾儀。十五年(641)遷太史丞，二十二年遷太史令。造麟德歷，撰《晉書》、《隋書》之《律歷志》,及《乙巳占》等。奉詔與算學(xué)博士梁述等編纂注釋《算經(jīng)十書》,顯慶元年(656)完成，高宗頒國學(xué)行用。
李淳風(fēng)等《九章算術(shù)注釋》批評了本書的輸章負(fù)籠術(shù)的錯(cuò)誤，以π=22/7代替本書之π=3及徽率π=157/50入算，其他方法則幾無創(chuàng)新，而他對劉徽注的幾處批評都反映出其數(shù)學(xué)水平、邏輯思想遠(yuǎn)在劉徽注之下。李淳風(fēng)等注釋最有意義的是引用祖暅之開立圓術(shù)，保存了祖暅之原理，即“夫疊綦成立積，緣冪勢既同，則積不容異”,以及祖暅之以此原理求出牟合方蓋的體積，從而徹底解決球體積公式的方法?！毒Y術(shù)》失傳之后，祖沖之父子的這兩項(xiàng)重大成就賴此得以流傳。傳本《九章算術(shù)》卷5、7、8無李淳風(fēng)等注釋。