《關(guān)于作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》

本書(shū)是G·B·黎曼在1854年為了取得教授資格對(duì)哥根廷的全體數(shù)學(xué)教員發(fā)表的演講。當(dāng)時(shí)題目為《幾何基礎(chǔ)》，這是由C·F·高斯指定的。這個(gè)演講在黎曼死后兩年以《關(guān)于作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》發(fā)表，當(dāng)時(shí)用德文出版。本書(shū)中黎曼提出的幾何并不只是高斯微分幾何的推廣。他重新考慮了研究空間的整個(gè)途徑，他研究了關(guān)于物理空間究竟可以相信什么的問(wèn)題。他的思想是：依靠分析，我們可以從關(guān)于空間無(wú)疑是先驗(yàn)的東西出發(fā)，導(dǎo)出必然的結(jié)論，于是就會(huì)知道空間的任何其它的性質(zhì)都是經(jīng)驗(yàn)的。他從定義“兩個(gè)一般點(diǎn)之間的距離”出發(fā)，仿照高斯曲面所用的方法，推出一種度量的幾維幾何。黎曼的第二個(gè)重要概念是流形的曲率概念，他試圖通過(guò)曲率去刻劃歐幾里得空間和更一般的空間，在這種空間中圖形可以挪動(dòng)而不改變其形狀或大小。黎曼關(guān)于n維流形的曲率概念是高斯關(guān)于曲面的總曲率概念的推廣。他在完成了n維幾何的一般研究，并說(shuō)明如何引進(jìn)曲率以后，進(jìn)而考慮特定的流形，在這種流形上，有限的空間形式應(yīng)當(dāng)能夠移動(dòng)，而不改變其大小或形狀，并且能夠按任意方向旋轉(zhuǎn)，即常曲率空間。他還指出空間的無(wú)界性(球的表面就是這種情形)和無(wú)限性的一種區(qū)別，他說(shuō)：無(wú)界性與任何其它由經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的事情，例如與無(wú)限廣度相比，有更大的經(jīng)驗(yàn)可信性。他相信天文學(xué)將判定某一種幾何符合于空間。他以下面的評(píng)論結(jié)束他的文章：“所以，或者作為空間基礎(chǔ)的客體必須形成一個(gè)離散的流形，或者在作用于它上面的約束力之下，我們應(yīng)當(dāng)從它的外部尋找其度量關(guān)系的根據(jù)?！边@就把我們引到另一門科學(xué)——物理學(xué)的領(lǐng)域，我們的工作的宗旨不容許我們今天進(jìn)入那個(gè)領(lǐng)域。本書(shū)出版后，引起了許多數(shù)學(xué)家強(qiáng)烈的興趣，他們忙著去充實(shí)書(shū)中所概述的思想，并加以推廣。黎曼的工作為后來(lái)愛(ài)因斯坦的相對(duì)論提供了幾何解釋。