四分歷法
歷數(shù)之生也，乃立儀、表、以校日景。景長(zhǎng)則日遠(yuǎn)，天度之端也^①。日發(fā)其端，周而為歲，然其景不復(fù)，四周千四百六十一日，而景復(fù)初，是則日行之終。以周除日，得三百六十五四分度之一，為歲之日數(shù)。日日行一度，亦為天度。察日月俱發(fā)度端，日行十九周，月行二百五十四周，復(fù)會(huì)于端，是則月行之終也。以日周除月周，得一歲周天之?dāng)?shù)^②。以日一周減之，馀十二十九分之七，則月行過(guò)周及日行之?dāng)?shù)也，為一歲之月。以除一歲日，為一月之?dāng)?shù)^③。月之馀分積滿其法，得一月，月成則其歲大。月四時(shí)推移，故置十二中以定月位。有朔而無(wú)中者為閏月。中之始日節(jié)，與中為二十四節(jié)氣。以除一歲日，為一氣之日數(shù)也。其分積而成日為沒(méi)，并歲氣之分，如法為一歲沒(méi)。沒(méi)分于終中，終中于冬至，冬至之分積如其法得一日，四歲而終^④。月分成閏，閏七而盡，其歲十九，名之曰章。章首分盡，四之俱終，名之曰蔀^⑤。以一歲日乘之，為蔀之日數(shù)也。以甲子命之，二十而復(fù)其初，是以二十蔀為紀(jì)。紀(jì)歲青龍未終，三終歲后復(fù)青龍為元^⑥。

《后漢書(shū)·律歷志下》

[注]①此指冬至點(diǎn)，曾作為古歷法中天文年度的起算點(diǎn)。②此即254÷19=;實(shí)為恒星月數(shù)。一恒星月相當(dāng)27.322日，與相乘，得一歲周天之?dāng)?shù)。③這里指一年為十二個(gè)朔望月又十九分之七，遂得一朔望月日數(shù)為÷(-1)=日。④這里÷24=日，是為一氣的日數(shù)，即二十四節(jié)氣中每一節(jié)或每一氣的日數(shù)。所剩馀的7/32,重復(fù)數(shù)次比一大時(shí)，把其“一”加進(jìn)日數(shù)，則每三十二次，氣的日數(shù)便沒(méi)有剩馀；又從開(kāi)始經(jīng)四年則氣的日數(shù)與歲的日數(shù)都沒(méi)有剩馀。⑤古歷法中定十九年七閏月中的十九年為一章法，四章為一蔀，共七十六年。⑥這里的青龍是太陰或太歲，乃歲星紀(jì)年的反映。以六十年為青龍一周期。如按六十甲子來(lái)算，二十蔀為紀(jì)，紀(jì)為：76×20=1520年，還不能恢復(fù)原來(lái)甲子，便定三紀(jì)為一元：1520×3=4560年，能為六十的倍數(shù)，恢復(fù)原來(lái)甲子是一元。
【評(píng)】 這里詳細(xì)地講明了后漢四分歷的治歷原則以及算法，它使我們基本了解后漢四分歷的內(nèi)容，這對(duì)我們研究古代歷法的演變，是很有參考價(jià)值的。
一般方法
作歷之法必先定方隅，驗(yàn)昏旦，測(cè)時(shí)氣，齊晷刻，候中氣。又驗(yàn)之以農(nóng)事之早晚，物類(lèi)之變化，然后中氣可得而定，中氣即定，然后閏余可得而推。

宋·王應(yīng)麟《玉?！肪硪弧鹬?/p>
【評(píng)】 宋代王應(yīng)麟對(duì)我國(guó)古代制歷方法進(jìn)行概括性的總結(jié)。
年月日時(shí)分界標(biāo)志
夏以十三月為正，平旦為朔；殷以十二月為正，雞鳴為朔；周以十一月為正，夜半為朔。

漢·伏生《尚書(shū)大傳》

【評(píng)】 年、月、日、時(shí)之始以何為標(biāo)志呢？ 這是歷法中很重要的問(wèn)題。上文言明了上古三種不同的歷法的年月日時(shí)分界標(biāo)志。
日時(shí)分界標(biāo)志
用昏建者杓^①;……夜半建者衡^②;……平旦建者魁^③。

《史記·天官書(shū)》

[注]①杓：為北斗第七星，又名搖光；②衡：為北斗第五星，又稱玉衡；③魁：為北斗第一星，又名天樞。
【評(píng)】 這里表明，古代在以觀測(cè)北斗星而定時(shí)節(jié)的時(shí)代，有過(guò)三種不同的觀測(cè)方法。平旦、夜半在我國(guó)歷法史上都曾經(jīng)作過(guò)一日之始的分界標(biāo)志，而“用昏建者杓”說(shuō)明我國(guó)古代歷法中有過(guò)以黃昏為日期分界標(biāo)志的建制。
調(diào)日法
宋世何承天更以四十九分之二十六為強(qiáng)率，十七分之九為弱率，于強(qiáng)弱之際以求日法。承天日法七百五十二，得一十五強(qiáng)一弱。自后治歷者，莫不因承天法，累強(qiáng)弱之?dāng)?shù)。

《宋史·律歷志》

【評(píng)】 這里說(shuō)的是劉宋天文學(xué)家何承天創(chuàng)調(diào)日法，求得近似觀測(cè)值的較精確的朔望月長(zhǎng)度問(wèn)題。我們知道朔望月長(zhǎng)度不是整數(shù)，對(duì)于其奇零部分，我國(guó)古代歷家用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，把分母部分叫日法，分子部分稱朔馀。如何在觀測(cè)的基礎(chǔ)上精確地定出朔望月長(zhǎng)度，顯然，關(guān)鍵是看怎樣來(lái)定它的日法和朔馀。何承天對(duì)此作了深入的研究，他先假定實(shí)測(cè)值在26/49和9/17之間，前者比實(shí)測(cè)值大，叫強(qiáng)率，后者小，叫弱率，他繼而取強(qiáng)弱率中間值為35/66,與實(shí)測(cè)值比稍小，還弱；再與強(qiáng)率26/49相加折衷，結(jié)果還弱，再加強(qiáng)率……,直到第十五次，便得399/752,結(jié)果與實(shí)測(cè)基本一致。這種不斷調(diào)整強(qiáng)弱分?jǐn)?shù)的方法，就叫調(diào)日法。調(diào)日法作為一種數(shù)學(xué)方法，還應(yīng)用于其它任何以分?jǐn)?shù)表示奇零數(shù)的天文數(shù)據(jù)之中。它在古代歷法中。為提高天文數(shù)據(jù)的精密度起過(guò)積極的作用。
上元積年
元典歷始曰元。傳曰：“元、善之長(zhǎng)也?！薄Ｓ衷唬骸霸?，體之長(zhǎng)也。”合三體而為之原，故曰元。於春三月，每月書(shū)王，元之三之以統(tǒng)也。三統(tǒng)合於一元，故因元一而九三之以為法，十一三之以為實(shí)。實(shí)如法得一?！?。
……。并終數(shù)為十九，《易》:窮則變，故為閏法。參天九，兩地十，是為會(huì)數(shù)。參天數(shù)二十五，兩地?cái)?shù)三十，是為朔望之會(huì)。以會(huì)數(shù)乘之，則周于朔旦冬至，是為會(huì)月。九會(huì)而復(fù)元?！晕逦怀藭?huì)數(shù)，而朔旦冬至，是為章月。四分月法，以其一乘章月，是為中法。參閏法為周至，以乘月法，以減中法而約之，則(六)[七]扐之?dāng)?shù)，為一月之閏法，其馀七分。此中朔相求之術(shù)也。朔不得中，是謂閏月，言陰陽(yáng)雖交，不得中不生。故日法乘閏法，是為統(tǒng)歲。三統(tǒng)，是為元?dú)q。元?dú)q之閏，陰陽(yáng)災(zāi)，三統(tǒng)閏法?！?。凡四千六百一十七歲，與一元終。……。天統(tǒng)之正，始施于子半，日萌色赤?！９蕷v數(shù)三統(tǒng)，天以甲子，……孟仲季迭用事為統(tǒng)首。……。傳曰：“天有三辰，地有五行”,然則三統(tǒng)五星可知也?！ぁ?。太極運(yùn)三辰五星于上，而元?dú)廪D(zhuǎn)三統(tǒng)五行于下。其于人，皇極統(tǒng)三德五事。故三辰之合于三統(tǒng)也，日合于天統(tǒng)，月合于地統(tǒng)，斗合于人統(tǒng)。五星之合于五行，……。三辰五星而相經(jīng)緯也。天以一生水，地以二生火，……。五勝相乘，以生小周，以乘《乾坤》之策，而成大周?！⒍芍?，三著而成象，二象十有八變而成卦，四營(yíng)而成易，為七十二，參三統(tǒng)兩四時(shí)相乘之?dāng)?shù)也。參之則得《乾》之策，兩之則得《坤》之策。以陽(yáng)九九之，為六百四十八，以陰六六之，為四百三十二，凡一千八十，陰陽(yáng)各一卦之微算策也。八之，為八千六百四十，而八卦小成。引而信之，又八之，為六萬(wàn)九千一百二十，天地再之，為十三萬(wàn)八千二百四十，然后大成。五星會(huì)終，觸類(lèi)而長(zhǎng)之，以乘章歲，為二百六十二萬(wàn)六千五百六十，而與日月會(huì)。三會(huì)為七百八十七萬(wàn)九千六百八十，而與三統(tǒng)會(huì)。三統(tǒng)二千三百六十三萬(wàn)九千四十，而復(fù)于太極上元。

《漢書(shū)·律歷志上》

【評(píng)】 上文是西漢末年劉歆在《三統(tǒng)歷》中使用上元積年的概況，此是為我國(guó)推算上元積年之濫觴。古代歷家在推算歷法起點(diǎn)(即歷元)時(shí)，習(xí)慣于取一個(gè)理想時(shí)刻，通常取一個(gè)甲子日夜半，并又在朔及又在冬至，從歷元更往上推，求一個(gè)出現(xiàn)“日月合璧，五星連珠”天象時(shí)刻，這個(gè)時(shí)刻稱為上元，從上元到編歷年年份的年數(shù)叫作積年，通稱上元積年。上元實(shí)際就是若干天文周期的共同起點(diǎn)。有了上元和上元積年，歷法家計(jì)算日、月、五星的運(yùn)動(dòng)和位置時(shí)就比較方便?！度y(tǒng)歷》以19年為1章，81章為1統(tǒng)，3統(tǒng)為1元。經(jīng)過(guò)1統(tǒng)(1539年),朔旦，冬至又在同一天夜半，但未回復(fù)到甲子日。經(jīng)3統(tǒng)(4617年)則回到原來(lái)的甲子日。這時(shí)年的干支仍不能復(fù)原，則又以135個(gè)朔望月為“朔望之會(huì)”,1統(tǒng)正好有141個(gè)朔望之會(huì)。故交食也以1統(tǒng)為循環(huán)的大周期。這些都是以漢太初元年十一月甲子朔旦夜半為起點(diǎn)的。劉歆為求得日月合璧、五星聯(lián)珠理想時(shí)刻，又算出23639040年的大周期，其起點(diǎn)稱為太極上元，太極上元到太初元年為143127年。
夫明時(shí)治歷，自黃帝、堯、舜與三代之盛王，莫不重之，其文備見(jiàn)于傳記矣。雖去古既遠(yuǎn)，其法不詳，然原其要，不過(guò)隨時(shí)考驗(yàn)，以合于天而已。漢劉歆作三統(tǒng)歷，始立積年日法，以為推步之準(zhǔn)。后世因之，歷唐而宋，其更元改法者，凡數(shù)十家，豈故相為乖異哉？蓋天有不齊之運(yùn)，而歷為一定之法，所以既久而不能不差，既差則不可不改也。

《元史·歷志一》

歷法之作，所以日月之距離，候氣朔之盈虛，不揆其端，無(wú)以測(cè)知天道，而與之吻合；然日月之行遲速不同，氣朔之運(yùn)參差不一，昔人立法，必推求往古生數(shù)之始，謂之演紀(jì)上元。當(dāng)斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然。惟其世代綿遠(yuǎn)，馴積其數(shù)至逾億萬(wàn)，后人厭其布算繁多，互相推考，斷截其數(shù)而增損日法，以為得改憲之術(shù)，比歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠(yuǎn)，浸復(fù)差失，蓋天道自然，豈人為附會(huì)所能茍合哉。夫七政運(yùn)行于天，進(jìn)退自有常度，茍?jiān)家K，候驗(yàn)周匝，則象數(shù)昭著，有不容隱者，又何必舍目前簡(jiǎn)易之法，而求億萬(wàn)年宏闊之術(shù)哉。
今授時(shí)歷以至元辛巳為元，所用之?dāng)?shù)，一本諸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百為率，比之他歷積年日法，推演附會(huì)，出于人為者，為得自然。
或曰：“昔人謂建歷之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至，然則歷之有積年日法尚矣。自黃帝以來(lái)，諸歷轉(zhuǎn)相祖述，殆七八十家，未聞舍此而能成者。今一切削去，無(wú)乃昧于本原，而考求未得其方歟？”是殆不然。晉杜預(yù)有云：“治歷者，當(dāng)順天以求合，非為合以驗(yàn)天?！鼻按莘e之法，不過(guò)為合驗(yàn)天耳。今以舊歷頗疏，乃命厘正，法之不密，在所必更，奚暇踵故習(xí)哉。

《元史·歷志二·授時(shí)歷議下》

【評(píng)】 自西漢《三統(tǒng)歷》創(chuàng)上元積年法后，確實(shí)對(duì)我國(guó)古代天文歷法的發(fā)展，起過(guò)一定的促進(jìn)作用。但后來(lái)各代歷家為尋求理想的上元，把推演工作變得相當(dāng)繁復(fù)，所得上元積年數(shù)字也非常龐大，成了歷算中的累贅，失去了歷法工作的本來(lái)意義。鑒于此，元代郭守敬創(chuàng)制《授時(shí)歷》時(shí)，決然廢除了上元積年法，這一方面反映了古代天文學(xué)的進(jìn)步，同時(shí)也反映出我國(guó)古代天文學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

置閏法

先王之正時(shí)也，履端于始，舉正于中，歸馀于終。

《左傳·文公元年》

【評(píng)】 我國(guó)早在殷周時(shí)代，就已懂得以設(shè)置閏月來(lái)調(diào)配陰陽(yáng)歷法。把閏月安排在哪個(gè)月才合適呢？據(jù)研究，上古時(shí)代一般實(shí)行的是歲末或歲半的固定置閏法。上文說(shuō)的就是這個(gè)問(wèn)題。它與后來(lái)發(fā)展的年中置閏法不同。
經(jīng)于四時(shí)，雖亡事必書(shū)時(shí)月。時(shí)所以記啟閉也，月所以紀(jì)分至也。啟閉者，節(jié)也。分至者，中也。節(jié)不必在其月，故時(shí)中必在正數(shù)之月。故《傳》曰：“先王之正時(shí)也，履端于始，舉正于中，歸馀于終。履端于始，序則不愆，舉正于中，民則不惑，歸馀于終，事則不悖?！贝耸ネ踔亻c也。以五位乘會(huì)數(shù)，而朔旦冬至，是為章月。四分月法，以其一乘章月，是為中法，參閏法為周至，以乘月法，以減中法而約之，則(六)[七]扐之?dāng)?shù)，為一月之閏法，其馀七分。此中朔相求之術(shù)也。朔不得中，是謂閏月，言陰陽(yáng)雖交，不得中不生。

《漢書(shū)·律歷志上》

【評(píng)】 上古所實(shí)行的年終或歲半固定置閏法，人們后來(lái)發(fā)現(xiàn)，對(duì)生產(chǎn)活動(dòng)及時(shí)節(jié)的調(diào)整有很不方便之處，便在創(chuàng)造二十四節(jié)氣的基礎(chǔ)上，提出了把沒(méi)有中氣的月作為閏月的方法。這是歷法為生產(chǎn)服務(wù)的一個(gè)重要措施，也是歷法前進(jìn)道路上的重要標(biāo)志。這種科學(xué)的置閏法，自漢《太初歷》始用，直到今天仍在應(yīng)用。
閏周
春王正月，辛亥朔，日南至，公既視朔，遂登觀臺(tái)以望，而書(shū)禮也。

《左傳·僖公五年》

春王二月，己丑，日南至。

《左傳·昭公二十年》

【評(píng)】 從《左傳》中兩次日南至記錄相隔一百三十三年來(lái)看，昭公二十年的日南至在二月，顯然在它前一年少閏一個(gè)月；故知在兩次日南至之間應(yīng)閏四十九次。一百三十三年里，有四十九個(gè)閏月，遂得平均十九年有七個(gè)閏月的結(jié)論。這說(shuō)明，我國(guó)早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就發(fā)現(xiàn)十九年七閏法的閏周規(guī)律。此意義在于，我國(guó)古代在制定陰陽(yáng)合歷之中，不僅能使陰陽(yáng)歷較好地協(xié)調(diào)起來(lái)，更重要的是使歷的季節(jié)時(shí)令也與天時(shí)基本符合了。這在古代歷法史中是一次意義重大的飛躍。這一規(guī)律為我國(guó)古代天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)希臘發(fā)現(xiàn)這一周期時(shí)，我國(guó)已成功地運(yùn)用了一百六十年之久。
破章法
大明六年，南徐州從事史祖沖之上表曰：古歷疏舛，頗不精密，群氏糾紛，莫審其要?！３忌鷮偈コ?，逮在昌遠(yuǎn)，敢率愚瞽，更創(chuàng)新歷。謹(jǐn)立改易之意有二，設(shè)法之情有三。
改易者，其一，以舊法一章十九歲有七閏，閏數(shù)為多，經(jīng)二百年，輒差一日。節(jié)閏既移，則應(yīng)改法，歷紀(jì)屢遷，實(shí)由此條。今改章法，三百九十一年有一百四十四閏。令卻合周、漢，則將來(lái)永用，無(wú)復(fù)差動(dòng)。其二，……

《宋書(shū)·律歷志下》

【評(píng)】 隨著科學(xué)發(fā)展，十九年七閏法仍顯得粗略，祖沖之便提出了新的閏月周期，破了舊章法。比祖沖之早約五十年的北涼趙??在編《元始?xì)v》時(shí)，首創(chuàng)破章法，他提出了六百六十年二百二十一個(gè)閏月周期。祖沖之提出的新閏周數(shù)據(jù)不僅比趙??更加精密，且自他之后，十九年七閏舊章法被徹底廢除了。至于閏周，我國(guó)歷法自采用了以無(wú)中氣之月為閏月的方法后，它對(duì)安排閏月的實(shí)際意義并不大，故從唐李淳風(fēng)《麟德歷》起，就不再定閏周，這也是我國(guó)歷法史上的又一次重大改革。
以月食驗(yàn)歷法
太史令虞恭，治歷宗訢等議：“建歷之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至。三者有程，則歷可成也?！?且課歷之法，晦朔變弦，以月食天驗(yàn)，昭著莫大焉?！?br>

《后漢書(shū)·律歷志中》

【評(píng)】 這段話說(shuō)明后漢歷家們的治歷原則，并認(rèn)識(shí)到日、月食的發(fā)生是自然之規(guī)律，開(kāi)始利用月食的變化作為檢驗(yàn)歷法疏密的手段，這在我國(guó)天文學(xué)史上是個(gè)不小的進(jìn)步。
日食驗(yàn)歷法
徐岳議：“……。今韓翊所造，皆用洪法，小益斗下分，所錯(cuò)無(wú)幾。翊所增減，致亦留思。然十術(shù)新立，猶未就悉，至于日蝕，有不盡效。效歷之要，要在日蝕。熹平之際，時(shí)洪為郎，欲改四分，先上驗(yàn)日蝕：日蝕在晏，加時(shí)在辰，蝕從下上，三分侵二。事御之后如洪言，誨內(nèi)識(shí)真，莫不聞見(jiàn)，劉歆以來(lái)，未有洪比?！?。”

《晉書(shū)·律歷志中》

【評(píng)】 三國(guó)魏文帝時(shí)，太史丞韓翊造《黃初歷》后，群臣議歷，這里是徐岳所言。他以劉洪創(chuàng)《乾象歷》為例，闡明效歷之要在于日蝕的道理及其方法。自此以降，歷代歷法家均承襲劉洪所創(chuàng)之法，以日食來(lái)校驗(yàn)歷法的疏密。
定朔
漢靈帝時(shí)，會(huì)稽東部尉劉洪，考史官自古迄今歷注，原其進(jìn)退之行，察其出入之驗(yàn)，視其往來(lái)，度其終始，始悟四分于天疏闊，……作乾象法，……,以術(shù)追日、月、五星之行，推而上則合于古，引而下則應(yīng)于今。其為之也，依易立數(shù)，遁行相號(hào)，潛處相處，名為《乾象歷》。又創(chuàng)制日[月]行遲速，兼考月行陰陽(yáng)，交錯(cuò)于黃道表里，日行黃道，于赤道宿度復(fù)有進(jìn)退。方于前法，轉(zhuǎn)為精密矣。
……
……。楊偉推五星尤疏闊，故元帝渡江左以后，更以乾象五星法代偉歷。自黃初已后，改作歷術(shù)，皆斟酌乾象所減斗分、朔馀、月行陰陽(yáng)遲疾，以求折衷。洪術(shù)為后代推步之師表，……
……
月行遲疾，周進(jìn)有恒。會(huì)數(shù)從天地凡數(shù)，乘馀率自乘，如會(huì)數(shù)而一，為過(guò)周分。以從周天，月周除之，歷日數(shù)也。遲疾有衰，其變者勢(shì)也。以衰減加月行率，為日轉(zhuǎn)度分。衰左右相加，為損益率。益轉(zhuǎn)相益，損轉(zhuǎn)相損，盈縮積也。半小周乘同法，如通數(shù)而一，以歷周減焉，為朔行分也。

《晉書(shū)·律歷志中》

【評(píng)】 劉洪在前人發(fā)現(xiàn)月行有遲疾的基礎(chǔ)上，首次提出了定朔的計(jì)算方法，并且應(yīng)用到他的《乾象歷》之中。過(guò)去，以朔望月的周期算出的合朔時(shí)刻，稱為平朔。所謂定朔，就是根據(jù)月亮運(yùn)動(dòng)不均勻性來(lái)校正過(guò)去把月行速度當(dāng)作不變的常數(shù)，從而得出真實(shí)的朔時(shí)刻。劉洪的創(chuàng)造，對(duì)我國(guó)天文歷法的發(fā)展起了推進(jìn)的作用。
推每日遲速數(shù)術(shù)：見(jiàn)求所在氣陟降率，并后氣率半之，以日限乘而汛總除，得氣末率。又日限乘二率相減之殘，汛總除，為總差。其總差亦日限乘而汛總除，為別差。率前少者，以總差減末率，為初率乃別差加之，前多者，即以總差加末率，皆為氣初日陟降數(shù)。以別差前多者日減，前少者日加初數(shù)，得每日數(shù)。所歷推定氣日隨算其數(shù)，陟加、降減其遲速，為各遲速數(shù)。其后氣無(wú)同率及有數(shù)同者，皆因前末，以末數(shù)為初率，加總差為末率，及差漸加初率，為每日數(shù)，通計(jì)其秒，調(diào)而御之。
求月朔弦望應(yīng)平會(huì)日所入遲速：各置其經(jīng)馀為辰，以入氣辰減之，乃日限乘日，日內(nèi)辰為入限，以乘其氣前多之末率，前少之初率，日限而一，為總率。其前多者，入限減汛總之殘，乘總差，汛總而一，為入差，并于總差，入限乘，倍日限除，加以總率，前少者，入限[自乘],再乘別差，日限自乘，倍而除，亦加總率，皆為總數(shù)。乃以陟加、降減其氣遲速數(shù)、為定，即速加、遲減其經(jīng)余，各其月平會(huì)日所入遲速定日及馀。
……
推朔弦望定日術(shù)：各以月平會(huì)所入之日加減限，限并后限而半之，為通率；又二限相減，為限衰。前多者，以入馀減終法，殘乘限衰，終法而一，并于限衰而半之；前少者，半入馀乘限衰，亦終法而一，減限衰。皆加通率，入馀乘之，日法而一，所得為平會(huì)加減限數(shù)。其限數(shù)又別從轉(zhuǎn)馀為變馀，脁減，朒加本入馀。限前多者，脁以減與未減，朒以加與未加，皆減終法，并而半乘之，以乘限衰；前少者，亦脁朒各并二入馀，半之，以乘限衰，皆終法而一，加于通率，變馀乘之，日法而一。所得以脁減、朒加限數(shù)，加減脁朒積而定脁朒。乃脁減、朒加其平會(huì)日所入馀，滿若不足進(jìn)退之，即朔弦望定日及馀。不滿晨前數(shù)者，借減日算，命甲子算外，各其日也。不減與減，朔日立算與后月同。若具無(wú)立算者，月大，其定朔算后加所借減算。……。
推月道所行度術(shù)：準(zhǔn)交定前后所在度半之，亦于赤道四度為限，初十一，每限損一，以終于一。其三度強(qiáng)，平。乃初限數(shù)一，每限增一，亦終十一，為交所在。即因十一，每限損一，以終于一。亦三度強(qiáng)，平。又初限數(shù)一，每限增一，終于十一，復(fù)至交半，返前表里。仍因十一增損，如道得后交及交半數(shù)。各積其數(shù)，百八十而一，即道所行每與黃道差數(shù)。其月在表，半后交前，損[減]增加；交后半前，損加增減于黃道。其月在里，各返之，即得月道所行度。……
求年天正定朔度：以定朔日至冬至每日所入先后馀為分，日為度，加分以減冬至度，即天正定朔夜半日在所度分。亦去朔日乘衰總已通者，以至前定氣除之，又加上求差加以并去朔日乃減度，亦即天正定朔日所在度。皆日為度，馀為分。其所入先后及衰總用增損者，皆分前增、分后損其平日度。

《隋書(shū)·律歷志》

……
【評(píng)】 上面摘文是隋代最杰出的天文學(xué)家劉焯所編撰的皇極歷部分內(nèi)容。劉焯在計(jì)算定朔時(shí)考慮了太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的不均勻性，并首次采用等間距二次內(nèi)差法來(lái)計(jì)算日、月運(yùn)動(dòng)不均勻而引起的校正數(shù)。這是我國(guó)古代歷法計(jì)算中的重要發(fā)展和成就。
推算太陽(yáng)位置法
后秦姚興時(shí)，當(dāng)孝武太元九年，歲在甲申，天水姜岌造《三紀(jì)甲子元?dú)v》其略曰：“治歷之道，必審日月之行，然后可以上考天時(shí)，下察地化。一失其本，則四時(shí)變移?！罩g朔，此乃天驗(yàn)也，……。今誠(chéng)以七家之歷，以考古今交會(huì)，信無(wú)其驗(yàn)也，皆由斗分疏之所致也?！?。殷歷斗分粗，故不施于今。乾象斗分細(xì)，故不得通于古。景初斗分雖在粗細(xì)之中，而日之所在乃差四度，日月虧已，皆不及其次，假使日在東井而蝕，以月驗(yàn)之，乃在參六度，差違乃爾，安可以考天時(shí)人事乎？今治新歷，以二千四百五十一分之六百五為斗分，日在斗十七度，天正之首，上可以考合于春秋，下可以取驗(yàn)于今世。以之考春秋三十六蝕，正朔者二十有五，蝕二日者二，蝕晦者二，誤者五，凡三十三蝕，其馀蝕經(jīng)無(wú)日諱之名，無(wú)以考其得失?！越裥職v施于春秋之世，日蝕多在朔。春秋之世，下至于今，凡一千馀歲，交會(huì)弦望故進(jìn)退于三蝕之間，此法乃可永載用之，豈三百歲斗歷改憲者乎？”

《晉書(shū)·律歷志下》

【評(píng)】 后秦姜岌在編算《三紀(jì)甲子元?dú)v》時(shí)，首創(chuàng)以月食位置推算太陽(yáng)位置法。這一創(chuàng)造對(duì)我國(guó)古代天文歷法中的天體位置的測(cè)定日趨精確化及天文數(shù)據(jù)逐步精密化起了很大的作用。
將歲差引入歷算
其二，以《堯典》云：“日短星昴，以正仲冬?！币源送浦拼?，日在今宿之左右五十許度。漢代之初，即用秦歷，冬至日在牽牛六度。漢武改立太初歷，冬至日在牛初。后漢四分法，冬至日在斗二十一。晉時(shí)姜岌以月蝕檢日，知冬至在斗十七。今參以中星，課以蝕望，冬至之日，在斗十一。通而計(jì)之，未盈百載，所差二度。舊法并令冬至日有定處，天數(shù)既差，則七曜宿度漸與歷舛。乖謬既著，輒應(yīng)改制，僅合一時(shí)，莫能通遠(yuǎn)，遷革不已，又由此條。今令冬至所在，歲歲微差，卻檢漢注，并皆審密，將來(lái)久用，無(wú)煩屢改。
又設(shè)法者，其一，以子為辰首，位在北方，爻應(yīng)初九，斗氣之端，虛為北方，列宿之中，元?dú)庹爻酰嗽诖舜?。前儒虞喜，備論其議。今歷上元日度，發(fā)自虛一。其二，……

《宋書(shū)·律歷志下》

【評(píng)】 這段話引自南北朝天文學(xué)家祖沖之上《大明歷》表。東晉天文學(xué)家虞喜發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)一個(gè)回歸年后，太陽(yáng)沒(méi)有在天上走一周天，而是每歲漸差。他提出了“天自為天，歲自為歲”的概念，如果把“歲”理解作一回歸年太陽(yáng)所走的度數(shù)，便可求出天、歲之差，這個(gè)差就稱為歲差。隨著太陽(yáng)位置測(cè)定的精密，歲差現(xiàn)象越來(lái)越被重視，祖沖之首先在歷法計(jì)算中引進(jìn)了歲差，盡管他的歲差數(shù)據(jù)不很準(zhǔn)確，卻是我國(guó)古代歷法中的一個(gè)很大的革新。
定氣與創(chuàng)不等間距二次差內(nèi)插法
以盈縮分盈減、縮加三元之策，為定氣^①所有日及馀。乃十二乘日，又三其小馀，辰法約而一，從之，為定氣辰數(shù)。不盡，十之，又約為分。以所入氣并后氣盈縮分，倍六爻乘之，綜兩氣辰數(shù)除之，為末率。又列二氣盈縮分，皆倍六爻乘之，各加辰數(shù)而一，以少減多，馀為氣差。至后以差加末率，分后以差減末率，為初率。倍氣差，亦倍六爻乘之，復(fù)綜兩氣辰數(shù)除，為日差。半之，以加減初末，各為定率。以日差至后以減、分后以加氣初定率，為每日盈縮分。乃馴積之，隨所入氣日加減氣下先后數(shù)，各其日定數(shù)。其求脁朒仿此。冬至后為陽(yáng)復(fù)，在盈加之，在縮減之。夏至后為陰復(fù)，在縮加之，在盈減之。距四正前一氣，在陰陽(yáng)變革之際，不可相并，皆因前末為初率。以氣差至前加之，分前減之，為末率。馀依前術(shù)，各得所求。其分不滿全數(shù)，母又每氣不同，當(dāng)退法除之。以百為母，半已上，收成一。冬至、夏至皆得天地之中，無(wú)有盈縮。馀各以氣下先后數(shù)先減、后加常氣小馀，滿若不足，進(jìn)退其日，得定大小馀。凡推日月度及軌漏、交蝕，依定氣。注歷，依常氣。以減經(jīng)朔、弦、望，各其所入日算。若大馀不足減，加爻數(shù)，乃減之。減所入定氣日算一，各以日差乘而半之。前少以加、前多以減氣初定率，以乘其所入定氣日算及馀秒。凡除者，先以母通全，內(nèi)子，乃相乘；母相乘除之。所得以損益脁朒積，各其入脁朒定數(shù)。[若非朔望有交者，以十二乘所入日算；三其小馀，辰法除而從之。以乘損益率，如定氣辰數(shù)而一。所得以損益脁朒積，各為定數(shù)。]

《新唐書(shū)·歷志四上》

[注]①定氣：我國(guó)古代創(chuàng)二十四節(jié)氣的計(jì)算方法，最初是把一個(gè)回歸年均勻地分成二十四等分，每一個(gè)節(jié)氣的時(shí)間長(zhǎng)度是日。這樣定的節(jié)氣叫“平氣”。但由于太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的不均勻性，各個(gè)平氣之間太陽(yáng)所走的度數(shù)實(shí)際是不相等的，所以隋劉焯提出以太陽(yáng)黃道位置來(lái)分節(jié)氣。即把黃道一周天從冬至開(kāi)始，仍分成二十四分，太陽(yáng)每走到一個(gè)分點(diǎn)就是交一個(gè)節(jié)氣。這樣定的節(jié)氣叫“定氣”。
【評(píng)】 此段是唐代一行撰《大衍歷》之歷譜中的步日躔術(shù)內(nèi)容。一行以定氣為根據(jù)來(lái)計(jì)算太陽(yáng)的運(yùn)行。由于各個(gè)定氣之間的時(shí)間間隔不等，要計(jì)算任意時(shí)刻的太陽(yáng)位置，就不能使用隋劉焯的等間距內(nèi)插公式，他便發(fā)明了不等間距的二次差內(nèi)插公式，把內(nèi)插法又向前推進(jìn)了一步。
平立定三差(招差)法
步日躔第三
……
求盈縮差
視入歷盈者，在盈初縮末限已下，為初限，已上，反減半歲周，馀為末限，縮者，在縮初盈末限已下，為初限，已上，反減半歲周，馀為末限。其盈初縮末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二萬(wàn)四千六百，又以初末限乘之，用減定差五百一十三萬(wàn)三千二百，馀再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒?？s初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二萬(wàn)二千一百，又以初末限乘之，用減定差四百八十七萬(wàn)六百，馀再以初末限乘之，滿億為度，不滿退除為分秒，即所求盈縮差。

《元史·歷志三》

元郭太史授術(shù)，中法號(hào)為最密。其平立定三差，學(xué)算者皆推為創(chuàng)獲。

清·李善蘭《則古昔齋算學(xué)》卷六《麟德術(shù)解序》

【評(píng)】 隋劉焯以后的歷法都認(rèn)為日、月、五星的運(yùn)行速度，在相當(dāng)短的時(shí)期內(nèi)是等加速的，唐一行編《大衍歷》創(chuàng)不等間距二次差內(nèi)插法，也僅是用以解決太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)不等速問(wèn)題的。元郭守敬、王恂編《授時(shí)歷》,認(rèn)為日、月、五星的運(yùn)動(dòng)不是時(shí)間的一次函數(shù)，而是二次函數(shù)，在某一時(shí)間內(nèi)日、月實(shí)行比平行多行的度數(shù)應(yīng)該是時(shí)間的三次函數(shù)，所以他們創(chuàng)平立定三次差內(nèi)插法即招差法，來(lái)求得日月在各段時(shí)間內(nèi)因不等速運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的校正數(shù)，是一重大貢獻(xiàn)。
歲首(三正)^①
火出，于夏為三月，于商為四月，于周為五月。夏數(shù)得天。

《左傳·昭公十七年》

夏正以正月，殷正以十二月，周正以十一月。蓋三王之正若循環(huán)，窮則反本。

《史記·歷書(shū)》

天開(kāi)于子，地闊于丑，人生于寅，故斗柄建此三辰之月，皆可以為歲首；而三代迭用之。夏以寅為人正，商以丑為地正，周以子為天正也。

宋·朱熹《論語(yǔ)集注》

[注]①“正”是指一年的第一個(gè)月安排在什么季節(jié)，實(shí)際就是指歲首問(wèn)題。所謂“三正”,是夏正、殷正、周正。
【評(píng)】 此三段表示夏、殷、周三種歷法的正月是在不同的季節(jié)?！蹲髠鳌放c《史記》所述的實(shí)質(zhì)是一致的，《史記》以夏歷為標(biāo)準(zhǔn)其觀點(diǎn)是漢代的歷史循環(huán)論“三統(tǒng)說(shuō)”的一個(gè)組成部分。至于三正交替說(shuō)法，近代學(xué)者根據(jù)對(duì)《春秋》歷法的研究，認(rèn)為此說(shuō)，不過(guò)是春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)宣傳改變歷法的托詞，未必真有其事?？茖W(xué)史專家錢(qián)寶琮更認(rèn)為，所謂夏、殷、周三種歷法，實(shí)際是春秋時(shí)代夏、殷、周三個(gè)民族地區(qū)的歷法，而不是三個(gè)王朝的歷法。朱熹的三正論說(shuō)，實(shí)質(zhì)也與《左傳》、《史記》一致，不過(guò)他一方面增加了斗建內(nèi)容，另一方面又參雜了一些天人相應(yīng)的理學(xué)色彩。
三正差異
十月^①之交，朔日辛卯……

《詩(shī)·小雅·十月之交》

[注]①這里的十月指周歷的十月，相當(dāng)于夏歷的八月。
秋^①,大水無(wú)麥苗。

《春秋·莊公七年》

[注]①這里的秋，當(dāng)指周歷的秋，相當(dāng)于夏歷的五六月。晚收的麥子和“五稼之苗”有可能被大水沖走，若是夏歷秋季，則很難索解。
二月^①,辛酉，葬我君宣公，無(wú)冰。

《春秋·成公元年》

[注]①這里的二月當(dāng)指周歷二月，即夏歷十二月，若是夏歷二月，“春風(fēng)解凍”,無(wú)冰應(yīng)是正常現(xiàn)象，史官則無(wú)需將這一罕見(jiàn)現(xiàn)象載入史冊(cè)。
七八月^①之間旱，則苗槁矣。天油然作云，沛然下雨，則苗渤然興之矣。

《孟子·梁惠王上》

[注]①這里的七八月系指周歷的七八月，相當(dāng)夏歷五六月，其時(shí)正是禾苗需要雨水的時(shí)候。
【評(píng)】研究古史者，查閱古籍文獻(xiàn)時(shí)，必須要了解三正的差異。因這些文獻(xiàn)所據(jù)以紀(jì)時(shí)的歷日制度并不統(tǒng)一。有些是同一歷史事實(shí)，他們所記的時(shí)月卻有出入。如《春秋·隱公六年》說(shuō)：“冬，宋人取葛?！倍凇蹲髠鳌分袆t記為“秋，宋人取長(zhǎng)葛。”再如《春秋·僖公五年》說(shuō)“春，晉侯殺其世子申生”,可《左傳》記述此事則是僖公四年十二月?？梢?jiàn)《左傳》所依據(jù)的史料有時(shí)是用夏歷的。這些矛盾只能從三正的差異中求得解釋。歸納起來(lái)，《春秋》、《孟子》多用周歷；《楚辭》、《呂氏春秋》等多用夏歷。而《詩(shī)經(jīng)》要看具體詩(shī)篇，其大部分用夏歷，而像《詩(shī)·小雅·十月之交》等則用得是周歷。