以不知為知，不可也，而猶可也，以不可知為知，大不可也。何可乎以不知為知，何不可乎以不可知為知？物予我以知，我暫不知，會(huì)心焉，有待也。物不任我以知，我謬附以知，見魔焉，迷不反也。嗟乎，使物有知，不且笑知已乎。故曰：知其不可知，知也。辛酉仲秋……與[江]鄭堂察秦九韶開方術(shù)及李冶天元一術(shù)，多以不可知為知者，遂就二乘方以下簡(jiǎn)且易者，略為條目以正之，首錄一冊(cè)，寄吾友焦理堂。理堂其樂道予之知?dú)e，末不亦樂乎？予之不知也。歙汪萊。

清·汪萊《衡齋算學(xué)》卷五敘

【評(píng)】汪萊《第五冊(cè)算書》臚列了若干二次三次方程，討論了它們的根與系數(shù)符號(hào)的關(guān)系。所謂可知即只有一個(gè)正根，否則為不可知。一個(gè)二次方程兩個(gè)正根，在楊輝引劉益《議古根源》實(shí)際上已經(jīng)出現(xiàn)，未引起人們的注意。汪萊在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次提出這個(gè)問題，其功大焉。唯所述繁瑣，此不引述。
是卷窮幽極微，真算氏之最也。愚更以正負(fù)開方為說(shuō)，括為三例。其一，凡隅、實(shí)異名，正在上，負(fù)在下，或負(fù)在上，正在下，中間正負(fù)不相聞?wù)撸芍?sup>①。其二，凡隅、實(shí)異名，中間正負(fù)相間，開方時(shí)其與隅異名之從、廉皆翻而與隅同名者可知，不者不可知^②。其三，凡隅、實(shí)同名者不可知^③。質(zhì)諸孝嬰^④,未審以為何如？計(jì)余與孝嬰別已二載，今孝嬰假館六安，余又旅寓杭州，相去千馀里，安得同共一堂，相與極諭也，念之，念之。壬戌^⑤八月初九元和李銳跋。

清·李銳《第五冊(cè)算書跋》(《(衡齋算學(xué)》卷六)

[注]①此條意謂，在開方式a₀x^k +a₁x^n-1+…+a_n＝0中，若a₀,a_n不同符號(hào)，中間a₁,a₂…a_n-1各項(xiàng)符號(hào)不相間隔，則開方式僅有一正根，故謂“可知”。②此條意謂，若a₀,a_n不同符號(hào)，而“a₁,a₂…a_n-1符號(hào)相間，求出一個(gè)正根，開方式降低一次為a₀x^n-1+a₁x^n-2+…+a_n-1′=0,若a₁′,a₂′,……a_n-1′都與a₀同號(hào)，原開方式只有一個(gè)正根，故可知；否則，還有會(huì)有其他正根，因而不可知。③此條意謂，若a₀,a_n同符號(hào)，開方式如果有根，則正根決不止一個(gè)，所以“不可知”。④孝嬰為汪萊字。下兩條中里堂為焦循號(hào)，理堂為其字。尚之為李銳字。⑤壬戌為清嘉慶七年，1802年，下辛酉為1801年。乙卯為1795年。庚申為1800年。癸亥為1803年。
記曰：右一篇^①,吾友李尚之為余《第五冊(cè)算書》作也。余書以辛酉之冬寄里堂……
論曰：尚之此例，足為余書之凡，而余書所謂不可知之?dāng)?shù)，有二數(shù)相淆者，有三數(shù)相淆者，推之三乘方以上，則有恒河沙、不可思議、無(wú)量數(shù)相淆者，必辨其為二、為三、為恒河沙、不可思議、無(wú)量數(shù)，皆著其求之之法，以示后人，使不能生疑惑，則又非例所能括者。故余于二乘方以下已煞費(fèi)苦心，而尚之亦不得例也。且尚之之第二例亦未有當(dāng)處。蓋所謂隅、實(shí)異名，而中間從、廉正負(fù)相間者，即余書之第五十一條也。此條有可知，有不可知，若非先以余法審別之，而驟以正負(fù)法開方，設(shè)遇不可知之?dāng)?shù)，如一與一千與一十萬(wàn)三數(shù)相淆；而題為一萬(wàn)萬(wàn)真數(shù)少一萬(wàn)，一十萬(wàn)一千根，積又多一十萬(wàn)一千一，一乘方積與一二乘方積相等者，自一至一十萬(wàn)相去遠(yuǎn)矣，茫無(wú)進(jìn)退之限，初商何以下算？初商不能下算，何以開方而知其翻為同名與否？又況雖翻而不同名亦有可知者。如八百真數(shù)，少一百根，積又多一十二，一乘方積與一二乘方積相等，則每根之?dāng)?shù)惟十，斷無(wú)相淆，^②以余補(bǔ)法按之可以得其故矣。

清·汪萊《衡齋算學(xué)》卷六

①指上條，李銳《第五冊(cè)算書跋》 ②汪萊1803年到揚(yáng)州在焦循處見到李銳《第五冊(cè)算書跋》中概括的三條，甚為贊賞，又指出第二條“有未當(dāng)處”,他舉一反例：x³-12x²+100x-800=0,求出正根x=10后，降低一次的開方式x²-2x+80=0,一次項(xiàng)系數(shù)與a₀不同號(hào)，仍為正根，因此原開方式只有一個(gè)正根，可知。
歲乙卯，余在浙始得見《益古演段》、《測(cè)圓海鏡》兩書，急寄尚之。尚之喜甚，為之疏通、證明，復(fù)推其術(shù)于弧矢，著書以明郭太史《授時(shí)草》所用天元一術(shù)。已而予又得秦氏所為《數(shù)學(xué)大略》,亦撰為《天元一釋》、《開方通釋》以述兩家之學(xué)。庚申冬與尚之同客武林節(jié)署中，互相證訂，喜古人絕學(xué)復(fù)續(xù)于今日。明年，孝嬰來(lái)?yè)P(yáng)州，因以語(yǔ)之。壬戌春，予在京師，孝嬰自六安寄一書來(lái)，甚言秦、李兩家之非而剖析其可知不可知，《衡齋算學(xué)》中第五冊(cè)是也。是秋，予復(fù)在浙，尚之寓于孤山，買舟訪之，以孝嬰之書與相參核，尚之深嘆為精善，復(fù)以兩日之力作開方三例，以明孝嬰之書之所以然，于是秦、李兩家之學(xué)至此益明。今年村居教徒……孝嬰謂予曰：“或謂尚之誚吾所著書，有之乎？”予因出尚之所為《衡齋算學(xué)跋》與之。孝嬰怡然曰：“尚之固不我非也?！薄T人請(qǐng)?jiān)唬骸扒亍⒗钪畷?，李君疏之，汪君難之，不已異乎？”予曰：“此兩君所以是也?！w非深入其室者不能疏，亦非深入其實(shí)者不能難。得李君之疏而秦、李之書明，得汪君之難而秦、李之書益明。古人立言，因樂夫人之深入而難我，不樂人之略觀大意而諂附我也。”……嘉慶癸亥中秋前一日江都焦循記。

清·焦循《第五冊(cè)算書記》(《衡齋算學(xué)》卷六)

【評(píng)】以上三段概述了汪萊關(guān)于開方式根與系數(shù)關(guān)系的研究，李銳對(duì)汪萊成果的概括，汪、李二家之互相辯駁，以及焦循所敘汪、李研究過程?！罢勌烊选敝螌W(xué)之嚴(yán)謹(jǐn)，謙虛之風(fēng)格，實(shí)事求是之精神，躍然紙上。
凡上負(fù)、下正可開一數(shù)^①。除一，平方三，立方八，三乘方二十^②。
上負(fù)、中正、下負(fù)，可開二數(shù)。平方一，立方五，三乘方一十八。
上負(fù)、次正、次負(fù)、下正，可開三數(shù)或一數(shù)。立方一、三乘方七。
上負(fù)、次正、次負(fù)、次正、下負(fù)，可開四數(shù)或二數(shù)。三乘方一。(自注：假令有五位，上二位負(fù)，下三位正，即是上負(fù)下正，非止謂上一位負(fù)、下一位正也。它皆仿此。)
凡可開三數(shù)或止一數(shù)，可開四數(shù)或止二數(shù)，其二數(shù)不可開，是為無(wú)數(shù)。凡無(wú)數(shù)必兩無(wú)，無(wú)一數(shù)者。

清·李銳《開方說(shuō)》卷上(見《李氏算學(xué)遺書》)

[注]①可開一數(shù)，指有一正根。卷上不討論無(wú)正根開方式。開方式仍按實(shí)在上、隅在下的順序排列，并且規(guī)定“實(shí)常為負(fù)”。②此指出上負(fù)、下正的一次方(即除法)、平方、三次方、四次方、開方式的排列情形的個(gè)數(shù)。比如三次方有二十種上負(fù)、下正的排列方式。下同。
【評(píng)】李銳在此最終提出了方程正根的個(gè)數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)變化次數(shù)之間的關(guān)系法則，即符號(hào)變化一次有一個(gè)正根，變化二次有二個(gè)正根，變化三次有三個(gè)或一個(gè)正根，變化四次有四個(gè)或二個(gè)正根。并且，如果正根個(gè)數(shù)不等于符號(hào)變化次數(shù)，則所缺少的正根，必成對(duì)。此成果比汪萊的以及他本人在《汪萊第五冊(cè)算書跋》中提出的三條，更為嚴(yán)格、完整，同笛卡兒符號(hào)法則相比不分軒輊，雖比笛卡兒晚近二百年，卻是獨(dú)立完成的。