《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最早有體系的天文學(xué)理論著作。作者不知。成書時(shí)間依書中星象數(shù)據(jù)按歲差原理求之，當(dāng)在漢哀平、新莽時(shí)期。原名《周髀》,意謂“立在周城的表竿”。因書中含算學(xué)內(nèi)容，被唐朝國(guó)子監(jiān)定為算學(xué)科必修的十部算經(jīng)之一。后遂通稱今名。這使人多認(rèn)為它只是一部數(shù)學(xué)書。書中主題是闡述蓋天說宇宙理論。這在唐代即已過時(shí)，唐人重視的是其數(shù)學(xué)內(nèi)容，即勾股重差等事。它確實(shí)也是一部重要的數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)?，F(xiàn)存最早版本是上海圖書館藏宋嘉定六年本，其中收有三國(guó)趙爽(君卿),北周甄鸞、唐李淳風(fēng)三家注，皆有重要參考價(jià)值。近人研究者首推錢寶琮，著《蓋天說源流考》等文。今人薄樹人、李志超，有進(jìn)一步的闡發(fā)。較之清儒諸家進(jìn)展很大。
本書分上下2卷，約7000字。開頭述周公與商高的問答，相當(dāng)于緒論，給出了基本概念和方法。“折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五?！笔枪垂啥ɡ碓谥袊?guó)最早最普及的陳述，后文“日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之得邪至日”則為一般化陳述，趙君卿注用割補(bǔ)法為之作了證明。勾股法作為應(yīng)用幾何學(xué)，實(shí)際包絡(luò)了古代幾乎全部幾何學(xué)。本書以之用于天文學(xué)，極言其作用之大：“環(huán)矩以為圓，合矩以為方。方屬地，圓屬天，天圓地方，方數(shù)為典，以方出圓?！焙芏嗳苏`以為古人有過天圓地方的宇宙模型，其實(shí)此處所指只是天地的屬性，不是幾何形狀。天有繞北極的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，繪圖成圓；地以天定向，測(cè)之以矩，繪圖成方。如是而已。
正文以陳子和榮方對(duì)話開頭，先談些科學(xué)觀和方法論：“夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行遠(yuǎn)近之?dāng)?shù)，人所望見四極之窮，列星之宿，天地之廣袤?！薄按私运阈g(shù)之所及?！笔峭耆嘈趴茖W(xué)和理性，主張世界可以認(rèn)識(shí)的。全書內(nèi)容有不少數(shù)學(xué)和邏輯的矛盾，而上卷自身似仍不失為一完整自洽的體系，其中含有下列天文學(xué)概念：
1、給出了基本的觀測(cè)和計(jì)算方法——立竿測(cè)影和勾股重差，假定8尺直竿夏至正午影長(zhǎng)南北千里差1寸。這意味著天和地是一對(duì)平行平面。書中由此求得天地間距是8萬里。
2、天平面以北極為中心旋轉(zhuǎn)，周期為1晝夜；太陽(yáng)在天平面上沿黃道運(yùn)行，周期為1年。太陽(yáng)在天上每天劃出的同心圓，冬至半徑最大，夏至半徑最小，春秋二分為中間值。按等間隔規(guī)定7個(gè)同心圓為“七衡”,中間有6個(gè)間隔為“六間”。冬至圓為外衡，夏至圓為內(nèi)衡，二分中衡。
3、提出日光照射有極限距離16.7萬里的假說，由此解釋晝夜的形成(下卷又從日道離人居處遠(yuǎn)近和離北極遠(yuǎn)近解釋四季寒暑以及南北氣候差異)還說到北極之下一年只有一晝一夜。
書中給定一個(gè)叫“周城”的地方，從那里觀測(cè)應(yīng)有如下數(shù)據(jù)：距極10.3萬里，距內(nèi)衡1.6萬里，距外衡13.5萬里。于是外衡半徑恰為內(nèi)衡二倍，冬至日照外及距極40.5萬里處，直徑恰為81萬里。主要數(shù)據(jù)的整齊性顯出了拼湊的痕跡，而這周城也只能是非現(xiàn)實(shí)地點(diǎn)，不過它的影長(zhǎng)數(shù)卻近似北緯35°實(shí)情。
下卷部分地修改了上卷的平行天地模式，“極下者其地高人所居6萬里，滂沲四隤而下，天之中央亦高四旁6萬里”。近代人多以為這講的是一種同心球面模式，然而全書堅(jiān)持立竿測(cè)影和勾股重差，卻以平行平面模式為本。一種看法認(rèn)為，高出部分應(yīng)僅限于書中所謂“璇璣”的小圈里，其中心為北極，直徑2.3萬里，其它仍為平行平面。
下卷的重點(diǎn)內(nèi)容是描述星位測(cè)量和星圖繪制的方法那一部分，這應(yīng)是上古還沒有渾天說時(shí)中國(guó)天文學(xué)的基本方法。歷代天文臺(tái)出于尊古風(fēng)尚，都保留表影觀測(cè)項(xiàng)目，但只測(cè)午影長(zhǎng)度，象征著舊制猶存。竿影測(cè)量的其它功能都由渾儀取代了。周髀之法為：在平地上畫出周長(zhǎng)365 1/4尺的大圓，用東西和南北二直徑分圓為四象限，圓心直立八尺表竿，以竿頭為投影中心，用目視瞄準(zhǔn)求得天體在地面上的投影并進(jìn)行度量，再以所得數(shù)據(jù)為依據(jù)在大圓內(nèi)外繪成星象圖?！稘h書》:“定東西，立晷儀，下漏刻，以追二十八宿相距于四方?！本褪沁@種操作。
古人關(guān)心的主要是赤道附近恒星——二十八宿的測(cè)度，這與日月運(yùn)行有關(guān)。如果觀測(cè)點(diǎn)正當(dāng)極下，且天形真是平面，則此法確可精測(cè)全天星度。然而實(shí)際上觀測(cè)點(diǎn)既遠(yuǎn)離極下，天也不是平面。在這種測(cè)量中僅正當(dāng)天頂?shù)奶祗w可給出比例相似形，正南赤道附近的星象在經(jīng)度上也有相對(duì)固定的比例關(guān)系。書中暗示知道這個(gè)比例關(guān)系：“即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿，以東井夜半中，牽牛之初臨子之中……于是天與地協(xié)，乃以置周二十八宿?！边@里，“天與地協(xié)”是天象與地上星圖一致，“夜半中”是說東井在正南，“牽牛之初”與東井差半周天，要求“臨子之中”,即在正北。這樣繪成的星圖是以北極為中心的圓圖，古稱“蓋圖”。
觀測(cè)方法中還含有“以漏揆度之”一條，即利用計(jì)時(shí)器輔之?，F(xiàn)已考明漢代漏刻精度已經(jīng)夠高，足以用于這項(xiàng)工作。一個(gè)天體在它到達(dá)正南方位之后，再過一個(gè)精確的一晝夜時(shí)間應(yīng)向西偏移周天的365 1/4分之一，對(duì)應(yīng)地上大圓一尺。從此可以掌握精確的投影比例因子。由各星上中天的時(shí)刻也不難獲得星體赤徑數(shù)據(jù)。并非只有渾儀才可得到精密數(shù)據(jù)。
周髀數(shù)術(shù)自然地說明了：中國(guó)古代何以分圓周為365 1/4度，而非西式360°,目視測(cè)天何以有丈尺單位，天體赤徑何以用“入宿度”表示。這些都是竿影法中直接測(cè)得的數(shù)據(jù)。后來渾天家創(chuàng)用渾儀，雖然這些老式數(shù)據(jù)體制應(yīng)予改進(jìn)了，但卻還是保留到明末西學(xué)的傳入為止。
下卷最費(fèi)解的內(nèi)容是“去極度”數(shù)據(jù)。在渾天家，天被看成球，有子午圈，它與赤道圈一樣，也分為365 1/4度，去極度是相當(dāng)于緯度的概念。冬至日去極115 5/8
度，夏至日去極67 5/8度，春秋分日去極91 5/8度。周髀以天為平面，本元子午圈，只有去極里數(shù)而無所謂去極度。七衡各有半徑?？墒菚袇s算出：外衡“牽牛去北極百一十五度……”中衡“婁與角去北極九十一度……”內(nèi)衡“東井去極六十六度……”(小數(shù)冗長(zhǎng)，皆略去)算法是拿三個(gè)半徑里數(shù)或加或減(或不加減)璇璣半徑，再以內(nèi)衡周長(zhǎng)的365 1/4分之一去除(注意其圓周率是3)這明顯是湊數(shù)。璇璣是為湊數(shù)而設(shè)計(jì)的虛擬之物。
這個(gè)引人注目的矛盾早年曾令研究者甚為困惑。實(shí)際上它反映的是中國(guó)歷史上的重大科學(xué)事件“渾蓋之爭(zhēng)”的信息。漢武帝支持洛下宏的渾天說，否決了司馬遷等太史令們的舊說。渾天說的天球概念與觀測(cè)一致，受到天文學(xué)家普遍承認(rèn)。蓋天派的保守學(xué)者窮于應(yīng)付，乃著《周髀》,一方面綜述其先師所傳，一方面苦心構(gòu)造各種說詞和數(shù)字以求擺脫困境。他們可以置諸多疏漏于不顧，唯求“天不得轉(zhuǎn)入地下”這個(gè)基本觀念不被推翻。結(jié)果是如蔡邕所說：“周髀術(shù)數(shù)俱存，驗(yàn)天多所違失。”
雖然周髀之學(xué)早自漢武就失去了在天文學(xué)實(shí)踐中的地位，但它卻是一部最早的有理論體系的自然科學(xué)書。特別是，全書雖以言天為主，卻只字不涉神學(xué)觀念，成為中國(guó)自然科學(xué)唯物主義的表率之作?！吨荀滤憬?jīng)》保存了中國(guó)古代宇宙論發(fā)展史的重要信息，是中國(guó)科學(xué)史上結(jié)束一個(gè)時(shí)代的里程碑。