兩儀化元 今有股冪減弦較較與股乘勾等^①,只云勾冪加弦較和與勾乘弦同^②。問股幾何？
草曰：立天元一為股，地元一為勾弦和。天地配合，求之得今式，求到云式，互隱通分，消之，內(nèi)二行得式，外二行得，兩位相消得開方式，平方開之，得股四步，合問。
羅士琳補草曰：立天元一為股，地元一為勾弦和^⑥。天元自之，得為股冪。地元減天元，得為弦較較，以減股冪得為勾乘股^⑦。以股除之，得為勾^⑧。自之，得為弦冪^⑩。副以勾自之，得為勾冪^⑾。乃并勾、股二冪，得，與弦冪相消得為今式。次以地元除股冪，得為勾弦較^⒀，加地元，得為倍弦。以勾弦較減地元，得為倍勾^⒁。與倍弦相乘，得為四段勾乘弦，于上^⒂。副以倍勾自之，得為四段勾冪^⒃。又以天元加地元；得，為弦和和，減倍勾，得為弦較和^⒄，四之得為四段弦較和，加四段勾冪，得，與上相消^⒅，得，可半則半之，得為云式^⒆。消今式，得，半之，得為右式^⒇。消今式得，為左式^〔21〕。左右對列，內(nèi)二行相乘，得，外二行相乘，得，內(nèi)外相消，得，開平方^〔22〕，得四步，合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·假令》

[注] ①此即b²-[c-(b-a)]=ab,c-(b-a)為弦較較。
②此即a²+[c+(b-a)] =ac,c+(b-a)為弦較和。
③此即
④內(nèi)二行得4x²+8x,外二行得x³+2x²。
⑤此即開方式x²-2x-8=0。⑥設(shè)x為b,y為c+a。
⑦c-(b-a)=-x+y,b²-[c-(b-a)]=x²+x-y=ab。
⑧a=x+1-。
⑨c=(c+a)-a=y-(x+1-)=-x-1+y+。
⑩c²＝x²+2x-2xy-4y+y²+1-+2+。
(11)a²＝x²+2x-2y+1-+。
(12)a²+b²＝2x²+2x-2y+1-+。
(13)=c-a。
(14)2c=(c+a)+(c-a)=+y,2a=(c+a)-(c-a)=-+y。
(15)4ac=+y²。(16)4a²＝-2x²++y²。
(17)c+(b+a)=x+y,c+(b-a)=x+。
(18)4a²+4[c+(b-a)]=-2x²+4x+++y²＝4ac=+y²
(19)-2x²+4x=0,以2x約，兩端乘y²,得云式。
(20)以云式減今式，以2y約，得x²-2y=0。
(21)將2y=x²代入今式，得-2x²-4x+xy+2y=0
(22)相當(dāng)于將2y=x²與xy+2y=2x²+4x的兩端交叉相乘，相消，得開方式x² - 2x-8=0。
【評】此為朱世杰作為范題的二元術(shù)解法。
三才運元 今有股弦較除弦和和與直積等。只云勾弦較除弦較和與勾同^①。問弦?guī)缀危?br>草曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，三才相配，求得今式，求得云式，求得三元之式。以云式剔而消之，二式皆人易天位，前得，后得，互隱通分，相消，左得，右得，內(nèi)二行得，外二行得，內(nèi)外相消，四約之，得開方式，三乘方開之，得弦五步，合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·假令》

[注]①此即。②此即聯(lián)立方程組。③此即四次開方式：x⁴-6x³+4x²+6x-5=0
【評】此為朱世杰的三元術(shù)范題。其草簡括，羅士琳、沈欽裴均有補草，今略。
四象會元 今有股乘五較與弦冪加勾乘弦等^①。只云勾除五和與股冪減勾弦較同^②。問黃方帶勾股弦共幾何？
草曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數(shù)。四象和會求之，求得今式，求得云式，求得三元之式，求得物元之式。四式和會，消而剔之，式皆物易天位，得前式：,后式，便為左行。以左行消后式，便為右行。內(nèi)二行得式，其外二行得式，內(nèi)外二行相消，三約，得開方式，平方開之^④,得一十四步，合前問。

元·朱世杰《四元玉鑒·假令》

[注]①五較為勾股較b-a,勾弦較c-a,股弦較c-b,弦和較(a+b)-c,弦較較c-(b-a)。此謂b{(b-a)+(c-a)+(c-b)+[(a+b)-c]+[c-(b-a)]}=c²+ac。②五和為b+a,c+a,c+b,c+(b+a),c+(b-a),此謂{(b+a)+(c+a)+(c+b)+[c+(b+a)]+[c+(b-a)]}/a=b²-(c-a)。③此為聯(lián)立方程：④此即二次開方式4x²-7x-686=0。
【評】此為朱世杰四元術(shù)之范題。文字簡括。羅士琳、沈欽裴均有補草，今略。從以上諸范題可以看出，朱世杰諳熟多元高次方程解法，并且精通多項式的加、減、乘、除(限于除數(shù)為單項式)。
凡加法，以太加太，以某元加某元，各齊其位。同名相加，異名相減。相加者，正者正之，負(fù)者負(fù)之；相減者，本數(shù)大則本數(shù)正者正之，負(fù)者負(fù)之，加數(shù)大則加數(shù)正者正之，負(fù)者負(fù)之；無對者，則正者正之，負(fù)者負(fù)之。
凡減法，亦齊其位。同名相減，異名相加。相減者，本數(shù)大則正者正之，負(fù)者負(fù)之，減數(shù)大則正者負(fù)之，負(fù)者正之；相加者本數(shù)正者正之，負(fù)者負(fù)之；無對者本數(shù)正者正之，負(fù)者負(fù)之，減數(shù)正者負(fù)之，負(fù)者正之。
凡相消得今、云諸式后，加、減不必齊其位，可以太加、減元，亦可以元加、減太，且可以諸乘數(shù)與太、元相加減，但其格式次序則不可亂，如以此行第一格加減彼行第二格，則此行第二格當(dāng)加減彼行第三格也。
凡得今、云諸式后，可以同名相加減，亦可以異名相加減。其異名相加，一如減法，相減一如加法。
凡乘法亦齊其位，列為左、右兩式。以左式太起，自上而下，遍乘右式右邊第一行，復(fù)遍乘第二行，以次至右式左邊末一行止，為乘第一次；又以左式太下一格遍乘右式，為乘第二次；以次至太下末一格乘畢。復(fù)以太左一行自上而下以次遍乘右式，如此至太左末一行乘畢。復(fù)以太右諸行如法遍乘右式。用物元者則又以太上諸格及太上左右諸格乘。凡左式有若干格，則乘若干次。同名相乘，所得為正；異名相乘，所得為負(fù)。乘畢，同名相加，異名相減，各依其位，并之。如天元乘太則為天元，天元乘天元則為天元自乘數(shù)，天元乘地元則為天地元相乘數(shù)，各以所乘定其位也。
凡除法有四元者皆不受除，寄為母。若僅有天元或僅有三元者，則可以天元除，以除天元一層得太一層，以除太一層得太上一層，凡除幾次則上幾層。若僅有二元者，則并可以地元除，以除地元一行得太一行，以除太一行得太右一行，凡除幾次則右?guī)仔小Ｈ舫ㄖ袔в兴麛?shù)者，亦不受除，寄為母。……

清·李善蘭《四元解》卷一

【評】朱世杰創(chuàng)造四元術(shù)，有諸元多項式四則運算的實際應(yīng)用，而未概括出運算法則。李善蘭則概括了四元術(shù)中的四則運算法則。