今有絹二千四百五十四匹，每匹直錢(qián)一貫七百文。問(wèn)計(jì)錢(qián)幾何？
術(shù)曰：先置絹數(shù)，七添之，退位一等，即得^①。

《夏侯陽(yáng)算經(jīng)·說(shuō)諸分》

[注]①這是將2454 × 1.7化成2454 × 17÷10,再化成(2454×10+2454×7)÷10計(jì)算，以加減代乘除，此謂身外加法。
今有兩稅錢(qián)四萬(wàn)三千六百七十五貫二百文，抽身內(nèi)充腳，每貫二百文。問(wèn)正及腳各幾何？
術(shù)曰：先置元錢(qián)，折半，六除，是正錢(qián)數(shù)。將正錢(qián)二因，即得腳。^①
又術(shù)：但置錢(qián)數(shù)，身外減二，得正。倍之，得腳^②。

《夏侯陽(yáng)算經(jīng)·說(shuō)諸分》

[注]①術(shù)文求正錢(qián)法是將43675.2÷ 1.2化成43675.2÷12×10,再化成436752÷2÷6,即將除數(shù)變成其因子的個(gè)位除法，是謂重因法。②又術(shù)求正錢(qián)法的程序是436752÷12=30000 + (436752-30000 × 10-30000 × 2) ÷12= 30000+6000+ (76752-6000×10-6000×2)÷12=……化成個(gè)位乘法與減法，是謂身外減法。
今有錢(qián)三干四百六十三貫五百文，欲每貫墊四十二文，問(wèn)墊幾何？
術(shù)曰：先置錢(qián)數(shù)，以六、七因之，退位即得。

《夏侯陽(yáng)算經(jīng)·說(shuō)諸分》

[注]此術(shù)將乘42變成乘6×7,化成個(gè)位乘法。
江本^①撰《三位乘除一位算法》三卷，又以一位因、折、進(jìn)、退，作《一位算法》九篇，頗為簡(jiǎn)約。

宋·王應(yīng)麟《玉海》

[注]①《新唐書(shū)·藝文志》有江本《一位算法》,知江本為唐數(shù)學(xué)家。
【評(píng)】人們自唐中葉起開(kāi)始改進(jìn)籌算乘除法，創(chuàng)造各種捷算法，主要是以加減代乘除，并試圖變?nèi)胁妓銥橐恍胁妓?，有重大意義，惜著述大都失傳，唯《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》存。
算術(shù)多門(mén)，如求一、上驅(qū)、搭因、重因^①之類(lèi)，皆不離乘除。唯增成^②一法，稍異其術(shù)，都不用乘除，但補(bǔ)虧就盈而已。假如欲九除者，增一便是，八除者，增二便是。但一位一因之，若位數(shù)少，則頗簡(jiǎn)捷，位數(shù)多則愈繁，不若乘除之有常。

宋·沈括《夢(mèng)溪筆談》卷一八

[注]①求一是化乘、除數(shù)的首位數(shù)字為1從而簡(jiǎn)化乘除法的方法。“重因”是化多位乘法為個(gè)位乘法的方法。上驅(qū)、搭因的涵義不清。③增成是歸除法的一類(lèi)。
【評(píng)】唐中葉以后，適應(yīng)商業(yè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們創(chuàng)造了各種籌算乘除捷算法。這些乘除捷算法也經(jīng)歷了由初級(jí)到高級(jí)的發(fā)展，不僅對(duì)當(dāng)時(shí)人們的生產(chǎn)、生活發(fā)揮了有益的作用，而且為珠算的產(chǎn)生并取代籌算準(zhǔn)備了算法條件。沈括所記載的這些方法都是較初級(jí)的。楊輝、朱世杰等進(jìn)一步發(fā)展了這些算法。
“求一乘”曰：五、六、七、八、九，倍之?dāng)?shù)不走；二、三須當(dāng)半，遇四兩折紐^①。倍、折本從法，實(shí)即反其有^②。用加以代乘，斯數(shù)足可守。

宋·楊輝《乘除通變本末》卷中

[注]①原脫“紐”字，依錢(qián)寶琮《中國(guó)數(shù)學(xué)史》補(bǔ)。②楊輝原注：“倍法必折實(shí)，倍實(shí)必折法?！?br>“求一除”曰：五、六、七、八、九，倍之?dāng)?shù)不走；二、三須當(dāng)半，遇四兩折紐。倍、折本從法^①,為除積相就^②。用減以代除，定位求如舊。

宋·楊輝《乘除通變本末》卷中

[注]①原脫字，依錢(qián)寶琮《中國(guó)數(shù)學(xué)史》補(bǔ)。②楊輝原注：“倍法必倍實(shí)，折法必折實(shí)。”
【評(píng)】求一法即將乘、除數(shù)首數(shù)通過(guò)加倍、折半變成一，用身外加減法，將乘除化成加、減。約一個(gè)世紀(jì)后，歸除歌訣簡(jiǎn)化，“求一除”被淘汰。
“九歸新括”,以古句今注兩存之。
歸數(shù)求成十^①?！熬艢w”:遇九成十；“八歸”:遇八成十；“七歸”:遇七成十；“六歸”:遇六成十；“五歸”:遇五成十；“四歸”:遇四成十；“三歸”:遇三成十；“二歸”:遇二成十。
歸除自上加。“九歸”:見(jiàn)一下一，見(jiàn)二下二，見(jiàn)三下三，見(jiàn)四下四；“八歸”:見(jiàn)一下二，見(jiàn)二下四，見(jiàn)三下六；“七歸”:見(jiàn)一下三，見(jiàn)二下六，見(jiàn)三下十二，即九；“六歸”:見(jiàn)一下四，見(jiàn)二下十二，即八；“五歸”:見(jiàn)一作二，見(jiàn)二作四；“四歸”:見(jiàn)一下十二，即六；“三歸”:見(jiàn)一下二十一，即七。
半而為五計(jì)。“九歸”:見(jiàn)四五作五；“八歸”:見(jiàn)四作五；“七歸”:見(jiàn)三五作五；“六歸”:見(jiàn)三作五；“五歸”:見(jiàn)二五作五；“四歸”:見(jiàn)二作五；“三歸”:見(jiàn)一五作五；“二歸”:見(jiàn)一作五。
定位退無(wú)差。

宋·楊輝《乘除通變本末》卷中

[注]①此段及下各段第一句為古句，原為大字，以下為楊輝注，原作小字。
九歸除法：
　　一歸如一進(jìn)，見(jiàn)一進(jìn)成十。二一添作五，
　　逢二進(jìn)成十。三一三十一，三二六十二，
　　逢三進(jìn)成十。四一二十二，四二添作五，
　　四三七十二，逢四進(jìn)成十。五歸添一倍，
　　逢五進(jìn)成十。六一下加四，六二三十二，
　　六三添作五，六四六十四，六五八十二，
　　逢六進(jìn)成十。七一下加三，七二下加六，
　　七三四十二，七四五十五，七五七十一，
　　七六八十四，逢七進(jìn)成十。八一下加二，
　　八二下加四，八三下加六，八四添作五，
　　八五六十二，八六七十四，八七八十六，
　　逢八進(jìn)一十。九歸隨身下，逢九進(jìn)成十。

元·朱世杰《算學(xué)啟蒙·總括》

【評(píng)】九歸是除法捷算中的一種基本方法。歸即一位除法，從1到9的除法稱(chēng)為“九歸”。從楊輝歌訣到朱世杰歌訣可以看出“九歸”歌訣的演進(jìn)，朱世杰的歌訣與直至解放后還在流行的珠算歌訣基本一致。用歌訣表達(dá)算法是個(gè)創(chuàng)造，不僅易學(xué)易記，而且口念迅速，加速了簡(jiǎn)捷的珠算取代籌算的過(guò)程。