開立圓術(shù)曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。

漢《九章算術(shù)·少?gòu)V》

【評(píng)】此為已知球體積求球徑的方法，它基于周三徑一之率及錯(cuò)誤的球體積公式V=D₃,D為球直徑。
為術(shù)者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。然此意非也。何以驗(yàn)之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸。又復(fù)橫因之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也；丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓冪傷少。令圓囷為方率，則丸積傷多?；ハ嗤ㄑa(bǔ)，是以九(原本作丸，戴震改作九)與十六之率偶與實(shí)相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲隅形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。

《九章算術(shù)·少?gòu)V》三國(guó)魏·劉徽注

【評(píng)】這是劉徽的一個(gè)極其重要的注，它指出了《九章》開立圓術(shù)的錯(cuò)誤及其原因，設(shè)計(jì)了牟合方蓋，認(rèn)為球與外切方蓋體積之比為π∶4,指出了解決球體積的正確途徑。同時(shí)，也反映了劉徽實(shí)事求是，寄希望于后學(xué)的學(xué)者風(fēng)度。
祖暅之開立圓術(shù)曰：以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞于左后之下隅，從規(guī)去其右上之廉。又合而橫規(guī)之，去其前上之廉。于是立方之棋，分而為四。規(guī)內(nèi)棋一，謂之內(nèi)棋。規(guī)外棋三，謂之外棋。規(guī)更合四棋，復(fù)橫斷之。以勾股言之，令馀高為勾，內(nèi)棋斷上方為股，本方之?dāng)?shù)，其弦也。勾股之法，以勾冪減弦冪，則馀為股冪。若令馀高自乘，減本方之冪，馀即內(nèi)[此處原本衍“減”字，李潢刪]棋斷上方之冪也。本方之冪，即此[原本訛作“外”,形似而誤，依意改]四棋之?dāng)嗌蟽?。然則馀高自乘，即外三棋之?dāng)嗌蟽缫?。不問高卑，?shì)皆然也。然固有所歸同而涂殊者爾。而乃控遠(yuǎn)以演類，借況以析微。按：陽馬方高數(shù)參等者，倒[原本訛作“列”,李潢改正]而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數(shù)，亦等焉。夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異。由此觀之，規(guī)之外三棋旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，內(nèi)棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八內(nèi)棋成一合蓋。內(nèi)棋居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗(yàn)矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率。故曰丸居立方二分之—也。等數(shù)既密，心亦昭晰。張衡放舊，貽哂于后；劉徽循故，未暇校新。夫豈難哉，抑未之思也。依密率，此立[此二字原本誤倒，錢寶琮校正]圓積本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，約此積。今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，開立方除之，復(fù)其本數(shù)。故開方除之，即丸徑也。

《九章算術(shù)·少?gòu)V》唐·李淳風(fēng)注釋

【評(píng)】這里李淳風(fēng)記述了祖暅之解決球體積的完整方法，及其理論基礎(chǔ)——祖暅之原理，亦即后來的卡瓦列利原理。《綴術(shù)》失傳之后，這是我們所知道的祖沖之父子的數(shù)學(xué)方法的唯一資料。