今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?
術曰:以去本自乘,令如高而一,所得,以減竹高,而半馀即折者之高也。
漢《九章算術·勾股》
此去本三尺為勾,折之馀高為股,以先令勾〔原本脫“勾”字〕自乘之冪。凡為高一丈為股弦并,以除此冪得差。此術與系索之類更相反覆也。亦可如上術,令高自乘為股弦并冪,去本自乘為矩冪,減之,馀為實。倍高為法,則得折之高數(shù)也。
《九章算術·勾股》三國魏·劉徽注
【評】《九章算術》的題目實際上是已知勾及股弦并求股的問題:b=。劉徽指出它與已知勾及股弦差求股、弦問題的關系,并將公式修正為b=。
股弦和與勾求股法曰:勾自乘為實,如股弦和而一,以減股弦和,馀,半之為股
①。
《九章算術·勾股》宋·賈憲細草
〔注〕①此即公式b=。
【評】賈憲在《九章算術》有關例題和術文的基礎上提出了由股弦和與勾求股的抽象公式。