小圓之圓，與大圓之圓同。

《墨子·小取》

【評(píng)】這是墨家對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，大約認(rèn)識(shí)到任何圓的周徑之比是常數(shù)。
此以周徑，謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環(huán)耳。以推圓規(guī)多少之覺(jué)，乃弓之與弦也。然世傳此法，莫肯精核。學(xué)者踵古，習(xí)其謬失。不有明據(jù)，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠(chéng)著于近，則雖遠(yuǎn)可知也。由此言之，其用博矣。

《九章算術(shù)·方田》三國(guó)魏·劉徽注

【評(píng)】此處劉徽批評(píng)了前人沿習(xí)周三徑一的錯(cuò)誤及錯(cuò)誤的原因，是為創(chuàng)造圓周率科學(xué)求法之前提。
謹(jǐn)按圖驗(yàn)，更造密率?？挚赵O(shè)法，數(shù)昧而難譬，故置諸檢括，謹(jǐn)詳其記注焉。割六觚以為十二觚術(shù)曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓里六[原本無(wú)“六”字，依戴震補(bǔ)]觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為勾，為之求股。以勾冪二十五寸減弦冪，馀七十五寸。開(kāi)方除之，下至秒忽。又一退法，求其微數(shù)。微數(shù)無(wú)名知以為分子，以十[原本作“下”,依錢寶琮校]為分母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒[原本訛作“絲”,依戴震校]五忽五分忽之二。以減半徑，馀一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。[原本下衍“小句知半面五寸之勾”九字，戴震刪。]觚之半面又謂之小股。為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬(wàn)三千四百四十五忽，馀分棄之[原本訛作“全分并之”,依戴震校]。開(kāi)方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以為二十四觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為勾，為之求股。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬(wàn)八千三百六十一忽，馀分棄之，即勾冪也。以減弦冪，其馀開(kāi)方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以減半徑，馀三分四厘七秒四忽五分忽之一，謂之小勾。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪六百八十一億四千八百三十四萬(wàn)九千四百六十六忽，馀分棄之。開(kāi)方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以為四十八觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為勾，為之求股。置上小弦冪，四而一，得一百七十億三千七百八萬(wàn)七千三百六十六忽，馀分棄之，即勾冪也。以減弦冪，其馀開(kāi)方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以減半徑，馀八厘五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小勾。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪一百七十一億一千二十七萬(wàn)八千八百一十三忽，馀分棄之。開(kāi)方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，馀分棄之。即四十八觚之一面。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬(wàn)一千三百九十三億四千四百萬(wàn)忽。以百億除之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。割四十八觚以為九十六觚術(shù)曰：亦令半徑為弦，半面為勾，為之求股。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬(wàn)九千七百三忽，馀分棄之，則勾冪也。以減弦冪，其馀開(kāi)方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以減半徑，馀二厘一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小勾。觚之半面又謂之小股。為之求小弦。其冪四十二億八千二百一十五萬(wàn)四千一十二忽，馀分棄之。開(kāi)方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，馀分棄之，即九十六觚之一面。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬(wàn)一千四百一十億二千四百萬(wàn)忽。以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。以九十六觚之冪減之，馀六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。倍之，為分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪于九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出于圓之表矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸，以為圓冪之定率，而棄其馀分。以半徑一尺除圓冪，倍所得，六尺二寸八分即周數(shù)。令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率。方冪二百，其中容圓冪一百五十七也。圓率猶為微少。按弧田圖令方中容圓，圓中容方，內(nèi)方合外方之半。然則圓冪一百五十七，其中容方冪一[原本訛作二，戴震校正]百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶為微少也。

《九章算術(shù)·方田》三國(guó)魏·劉徽注

【評(píng)】劉徽在中國(guó)歷史上首次提出圓周率的正確求法，提出計(jì)算程序，并求出π≈157/50及圓與外切正方形面積之比為157∶200,是為劉徽修正《九章算術(shù)》與圓有關(guān)的不準(zhǔn)確公式的依據(jù)。其計(jì)算程序優(yōu)于古希臘的同類方法，奠定了中國(guó)在圓周率計(jì)算上長(zhǎng)期領(lǐng)先的基礎(chǔ)。
此術(shù)^①微少，而差[“差”上原本有“斛”字，錢寶琮刪，疑為“觚”]冪六百二十五分寸之一百五。以一百九[原本脫此三字，依李潢補(bǔ)]十二觚之冪以率消息，當(dāng)取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之冪以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸之四。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率，方冪五千中容圓冪三千九百二十七，圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周數(shù)也。全徑二尺，與周數(shù)通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法仍約耳。當(dāng)求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分，數(shù)亦宜然，重其驗(yàn)耳。

《九章算術(shù)·方田》三國(guó)魏·劉徽注

[注]①指π=157/50
【評(píng)】這是劉徽求出的第二個(gè)圓周率值，相當(dāng)于π=3.1416,現(xiàn)在通用的即此值。
古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末南徐州從事史祖沖之更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五，約率：圓徑七，周二十二。

《隋書(shū)·律歷志》

【評(píng)】祖沖之所求圓周率精確到八位有效數(shù)字，相當(dāng)于3.1415926<π<3.1415927,在世界上領(lǐng)先千馀年，他求出的密率π≈355/113是分母小于16604的最佳分?jǐn)?shù)。
割圜，古法也。圜不割則無(wú)由知圜之周。自魏劉徽注《九章算術(shù)》,以勾股術(shù)用圜內(nèi)六邊形起算，從其六觚之環(huán)，即為徑一周三之古率，由是而弧矢之術(shù)生焉。元趙友欽《革象新書(shū)》用圜內(nèi)四邊形起算，由是而西人之六宗、三要、二簡(jiǎn)法^①生焉。元郭邢臺(tái)授時(shí)草立天元一求弧矢，猶仍古率徑一周三，不知周三者，舉成數(shù)約而言之也。《九章·少?gòu)V》注載漢張衡率：圜周冪五方周冪八，此與宋秦九韶《數(shù)學(xué)九章》環(huán)田三積術(shù)謂“以徑冪進(jìn)位為實(shí)，開(kāi)方為圜周”率同^②。又《九章·方田》注載劉歆率徑一千二百五十，周三千九百二十七(原注：注載王莽銅斛云云，未詳誰(shuí)氏之率，茲據(jù)《隋志》定此為歆率)^③。劉徽率徑五十，周一百五十七。吳王蕃率徑四十五，周一百四十二。迨劉宋南徐州從事祖沖之更開(kāi)密率，以圜徑一億為一丈，圜周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈、朒之間。于是定徑一百一十三，周三百五十五為密率；又定徑七，周二十二為約率，后世因之，斯為最密。此外[原誤倒]如明陳藎謨太極率徑一，周三一五二五；邢云路率徑一，周三一二六，又三才奇率徑一，周三一二一三二○三四(邢氏二率，前率見(jiàn)《疇人傳》,后三才奇率見(jiàn)?！豆沤衤蓺v考》);方以智《通雅》載徑十七，周五十二；康熙朝袁士龍智術(shù)與顧長(zhǎng)發(fā)率同，為徑一，周三一二五；或失之少，或失之多，皆不逮祖氏率。厥后西士亞奇默德^④作《圜書(shū)》三題，其第二題定周三倍徑又七十之十則朒，周三倍徑又七十一之十則盈。以數(shù)考之，朒率即祖氏之約率。約率本大于密率，而盈率更小于密率八千二十三分之六。唯利瑪竇等用內(nèi)容外切諸術(shù)，屢求勾股，割之又割，內(nèi)外相課，定為徑一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四。以之立表求八線，理密數(shù)繁，然入算必資乎表。……是書(shū)^⑤于割圜之理推闡無(wú)遺，尤可舍表徑求八線。朱小梁觀察曾據(jù)術(shù)求得四十位周徑率，為徑一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四(小馀七一五一九),與割圜本法所求者合。蓋推其原，先設(shè)十、百、千、萬(wàn)諸分弧，如本法乘除之，以求合于弦之二十四分、八十分、百六十八分，矢之十二分、三十分、五十六分。諸數(shù)俾弧矢奇耦率可互通。向之莫挾其旨者，一旦豁然，是誠(chéng)術(shù)之至精且捷者也。

清·明安圖《割圜密率捷法》岑建功序

[注]①六宗是圓內(nèi)接正六、四、三、十、五、十五邊形邊長(zhǎng)的計(jì)算；三要是sin²α+cos²α=1,及倍弧的正弦和馀弦，半弧的正弦和馀弦三類公式；二簡(jiǎn)法指弧的和、差的正弦和馀弦及60°±r的正弦；都是十七世紀(jì)由傳教士傳入的。②這是說(shuō)π≈。③π≈3927/1250不是劉歆率，而是劉徽所創(chuàng)，岑氏誤。④岑氏不諳西方編年，將阿基米德(公元前三世紀(jì))誤為康熙時(shí)人。⑤指明安圖《割圜密率捷法》。
【評(píng)】岑建功系統(tǒng)敘述了中國(guó)圓周率的歷史，除把西方傳入的六宗、三要、二簡(jiǎn)法歸于趙友欽的割圓術(shù)的派生，把π≈3927/1250歸于劉歆，以及弄錯(cuò)阿基米德的時(shí)代外。都是相當(dāng)準(zhǔn)確的。