今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉(zhuǎn)多一尺，每人日支錢(qián)二百五十文，已招二萬(wàn)三千四百人，支錢(qián)二萬(wàn)三千四百六十二貫。問(wèn)招來(lái)幾日^①?
術(shù)曰：立天元一為三角落一底子，如積求之，得九萬(wàn)二千七百三十六為益實(shí)，六百六十為從方，一百八十一為從上廉，二十二為從下廉，一為正隅，三乘方開(kāi)之，得三角落一底子一十二個(gè)^②,加三即日數(shù)。
錢(qián)求日術(shù)曰：立天元一為三角撒星底子，如積求之，得五百六十一萬(wàn)八百四十為益實(shí)，一萬(wàn)八千三百六十二為從方，六千三百九十為從上廉，一千七十五為從二廉，九十為從三廉，三為正隅。四乘方開(kāi)之，得三角撒星底子一十二個(gè)^③,加三即日數(shù)。(原注：或問(wèn)，還原依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉(zhuǎn)多一尺，得數(shù)為兵。今招一十五方，每人日支錢(qián)二百五十文，問(wèn)招兵及支錢(qián)各幾何^④?答曰：兵二萬(wàn)三千四百人，錢(qián)二萬(wàn)三千四百六十二貫。術(shù)曰：求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六。求兵者，今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積，又今招減二為三角底子積為三積，又今招減三為三角落一積為下積，以各差乘各積，四位并之，即招兵數(shù)也^⑤。求支錢(qián)者，以今招為茭草積為上積，又今招減一為三角底子積為二積，又今招減二為三角落一積為三積，又今招減三為三角撒星積為下積，以各差乘各積，四位并之，所得又以每日支錢(qián)乘之，即得支錢(qián)之?dāng)?shù)也^⑥。)合問(wèn)。
草曰：立天元一為三角落一底子，加三得為第一次實(shí)，以天元加二乘之，得為第二次實(shí)，又以天元加一乘之，得為第三次實(shí)，又以天元乘之，得為第四次實(shí)。副以初招方面三再之，得二十七為上差；次方面四再之，得六十四，減上差，馀三十七為二差；倍二差加上差，得一百一，以減再次立方積一百二十五，馀二十四為三差；三因二差、三為下差。于是以上差乘第一次實(shí)，得，四之，得于上；以二差乘第二次實(shí)，得，倍之，得于中；以三差乘第三次實(shí)，得，三而二，得于中次；又以下差乘第四次實(shí)，得，六而一，得于下，并；上位，得為四倍招兵數(shù)^④,寄左。乃以四通已招兵，得九萬(wàn)三千六百人為同數(shù)，消左，得，開(kāi)三乘方，得十二個(gè)，加三，得十五日。
錢(qián)求日草曰：立天元一為三角撤星底子，加四得，以天元加三乘之，得為第一次實(shí)，又以天元加二乘之，得為第二次實(shí)，又以天元加一乘之，得為第三次實(shí)，又以天元乘之，得為第四次實(shí)。于是以上差乘第一次實(shí)，得，三十之，得于上；以二差乘第二次實(shí)，得，十之，得于中；以三差乘第三次實(shí)，得，四而一，復(fù)各超一位，得于中次；又以下差乘第四次實(shí)，得，半之，得于下。并四位，得，為六十倍招兵數(shù)^⑧。合以日支二百五十文乘之，為六十倍共錢(qián)數(shù)。今省一乘，即以六十倍招兵數(shù)為一百分之二十四共錢(qián)數(shù)寄左。乃以分子二十四通共支錢(qián)，得五百六十三萬(wàn)八百八十為同數(shù)，消左，得，開(kāi)四乘方，得十二個(gè)，加三，得十五日。(原注：依注還原草曰：依立方招兵，置二十七為上差，三十七為二差，二十四為三差，六為下差。求兵者，今招為上積，以上差乘之，得四百五于上，又今招減一，馀十四為茭草底子，以十五乘之，得二百十，如二而一，得一百五為二積，以二差乘之，得三千八百八十五于中；又今招減二，馀十三，為三角底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十，如六而一，得四百五十五為三積，以三差乘之，得一萬(wàn)九百二十于副；又今招減三，馀十二，為三角落一底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三萬(wàn)二千七百六十，如二十四而一，得一千三百六十五為下積，以下差乘之，得八千一百九十于下，并四位，得二萬(wàn)三千四百人。支錢(qián)者，今招為茭草底子，以十六乘之，得二百四十，如二而一，得一百二十為上積，以上差乘之，得三千二百四十，于上；又今招減一，馀十四為三角底子，以十五乘之，得二百十，又以十六乘之，得三千三百六十，如六而一，得五百六十為二積，以二差乘之，得二萬(wàn)七百二十于中；又今招減二，馀十三，為三角落一底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十；又以十六乘之，得四萬(wàn)三千六百八十，如二十四而一，得一千八百二十為三積，以三差乘之，得四萬(wàn)三千六百八十于副；又今招減三，馀十二，為三角撒星底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三萬(wàn)二千七百六十，又以十六乘之，得五十二萬(wàn)四千一百六十，如一百二十而一，得四千三百六十八為下積，以下差乘之，得二萬(wàn)六千二百八于下，并四位，得九萬(wàn)三千八百四十八。又以每日支錢(qián)乘之，得二萬(wàn)三千四百六十二貫。)合問(wèn)。

元·朱世杰《四元玉鑒·如象招數(shù)》

[注]①此為已知a,b,d,A,B,由a³+(a+d)³+(a+2d)³+…+[a+(n-1)d]³＝A或{a³n+(a+d)³ (n-1)+(a+2d)³(n-2)+…+[a+(n-1)d]³ · 1}b=B求n的問(wèn)題，朱世杰用招差法解決，此問(wèn)中a= 3,d=1,A=2340,b=250,B=23462000。②此為四次開(kāi)方式x4+22x³+181x²+660x-92736=0。③此為五次開(kāi)方式3x⁵+90x⁴+1075x³+6390x²+18362x-5610840=0。④此為朱世杰以原題的逆問(wèn)題闡述招差法公式。⑤首先求出各次差：

其次，利用高階等差級(jí)數(shù)求和公式，求出上積n,二積(n-1)n,三積(n-2)(n-1)n,下積(n-3)(n-2)(n-1)n。總兵數(shù)為
f(n)=n⊿₁+(n-1)n⊿₂+(n-2)(n-1)n⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n⊿₄。
這一公式與現(xiàn)今公式完全一致。⑥上積為n(n+1),二積為(n-1)n(n+1),三積為(n-2)(n-1)n(n+1),四積為(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)。支錢(qián)人日數(shù)為f(n′)=n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄。
總錢(qián)數(shù)為
[n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄]b。

⑦在注⑤的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵數(shù)。⑧在注⑥的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵人日數(shù)。
【評(píng)】關(guān)于招差法的研究，是朱世杰著作中最精彩的部分之一。招差法實(shí)際上是高次插值法。插值法的研究在中國(guó)數(shù)學(xué)史上，尤其在歷法制定的數(shù)學(xué)方法中，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。《九章算術(shù)》的盈不足術(shù)，可以看作一次插值法。六世紀(jì)天算學(xué)家劉焯制定《皇極歷》(600年)提出了等間距插值公式

f(nl+s)=f(nl)+(⊿₁-⊿₂)

,
其中⊿₁＝f(nl+l)-f(nl),⊿₂＝f(nl+2l)-f(nl+l)。是為等間距二次插值公式。八世紀(jì)僧一行制定《大衍歷》提出了不等間距二次內(nèi)插公式：

。

十三世紀(jì)郭守敬、王恂制定《授時(shí)歷》(1280),用高階等差級(jí)數(shù)知識(shí)解決高次招差問(wèn)題，成就輝煌。朱世杰則把這一研究推向更加完備的水平，在一定意義上說(shuō)，朱世杰最終完成了
中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在招差法方面的工作。