《數(shù)書九章》,本名《數(shù)術(shù)》,又稱《數(shù)術(shù)大略》、《數(shù)學(xué)大略》、《數(shù)學(xué)九章》,是中國古代重要數(shù)學(xué)著作，宋元數(shù)學(xué)高潮的代表作之一。南宋秦九韶撰。南宋及元、明無刻此書的記載。明修《永樂大典》將此書分類抄錄，題稱《數(shù)學(xué)九章》。清乾隆中開《四庫全書》館，館臣從《永樂大典》中輯出該書，凡9卷，?？焙蟪搿端膸烊珪?。李銳(1768—1817)由《四庫全書》本錄得一抄本，再加校注。明萬歷間常熟趙琦美藏有一抄本，名《數(shù)書九章》,9類，18卷，系文淵閣藏本的輾轉(zhuǎn)抄本。清嘉慶間，此本為張敦仁(1754—1834)所得。道光初，沈欽裴?？笔菚岳喜∥醋錁I(yè)，其弟子宋景昌紹其志，匯合各家校注，并撰《札記》4卷，道光二十二年(1842)由上海郁松年刻入《宜稼堂叢書》,是為最流行的版本。此后《古今算學(xué)叢書》、《叢書集成初編》、《國學(xué)基本叢書》諸本皆宗于此。
秦九韶(約1202—約1261),自稱魯郡(今山東省曲阜、兗州一帶)人，生于普州安岳縣(今四川省安岳縣),一說秦風(fēng)間人，當(dāng)是誤傳，南宋數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。其父秦季槱，紹熙進(jìn)士，曾任太守、知府、秘書少監(jiān)等職，九韶青少年 一直隨父在任所，得在杭州從隱君子受數(shù)學(xué)，向太史學(xué)習(xí)天文學(xué)。成年后在今湖北、安徽、江浙一帶作過地方官，并注意收集研究數(shù)學(xué)問題。淳祐七年(1247)丁母憂解職家居期間完成本書。他在自序中提出“數(shù)與道非二本”的觀點(diǎn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)“大則可以通神明，順性命，小則可以經(jīng)世務(wù)，類萬物”,而自己的研究則在經(jīng)世務(wù)、類萬物方面。他批駁了輕視數(shù)學(xué)、不認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的錯(cuò)誤態(tài)度，全面論述了數(shù)學(xué)在國計(jì)民生各個(gè)領(lǐng)域中的巨大作用，本書便是他“設(shè)為問答以擬于用”的總結(jié)。九韶晚年任瓊州守、司農(nóng)司丞，賈似道專權(quán)誤國，迫害吳潛黨人，九韶被株連，竄之梅州，在梅治政不輟，卒于任所。九韶參與了賈、吳之爭，被迫隨賈的周密、劉克莊丑詆不堪，而九韶之履歷，多賴此以傳。清學(xué)者焦循(1763—1820)曾為之辨誣。關(guān)于九韶之人品，仍是 一個(gè)懸案，然他“性極機(jī)巧，星象、音律、算術(shù)以至營造等事無不精究”,“游戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知”,則是公認(rèn)的。
本書包括大衍、天時(shí)、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易凡9類，18卷，81問，20余萬字，每類2卷，9問。大衍類是以一次同余式組解法解決各種實(shí)際問題。所謂一次同余式問題就是求滿足同余式組N≡Ri(madai) (i=1,2,……n)的正整數(shù)N,上式的直觀意義是N以ai數(shù)之，剩R_i,數(shù)學(xué)上稱N、R_i對模ai同余，_i＝1,2,……n。這類問題在中國數(shù)學(xué)著作中最先見之于《孫子算經(jīng)》物不知數(shù)問；而天文學(xué)家制定歷法計(jì)算上元積年時(shí)，也要解同余式組。然而前者失之于過簡，后者未形成系統(tǒng)方法，所謂“歷家雖用，用而不知”,甚或誤認(rèn)為線性方程組解法。本書的大衍總數(shù)術(shù)比較系統(tǒng)地解決了這個(gè)問題。其基本思想是：在諸ai兩兩無公約數(shù)(相當(dāng)于今兩兩互素)時(shí)，若能求出諸k_i,使
k_ia₁a₂…a_i-₁a_i+₁…a_n≡1(moda_i),i=1,2,…n,則N≡R_ik_ia₁a₂…a_i-₁a_i+₁…a_n (moda₁a₂…an)。為求出諸k_i,首先利用同余式的傳遞性：若a1a2…ai-₁a_i+₁…an>ai,而a₁a₂…a_i-₁ai+₁…a_n≡g_i(moda_i),0〈g_i〈a_i,則k_ig_i≡1(moda_i)與k_ia₁a₂…_ai-1a_i+₁…a_n≡1(mod a_i)等價(jià)；繼而用_gi與_ai輾轉(zhuǎn)相除，及一整套計(jì)算程序，求出滿足要求的ki,諸ki稱為乘率。因計(jì)算乘率的輾轉(zhuǎn)相除要到右上奇一而一，因而把求乘率ki的方法稱作大衍求一術(shù)，它是大衍總數(shù)術(shù)的核心。 而實(shí)際問題中諸問數(shù)ai的情況極復(fù)雜，有分?jǐn)?shù)、小數(shù)及有公因子等各種情況，大衍總數(shù)術(shù)針對各種情況，提出了不同的程序?qū)⑺鼈兓蓛蓛蔁o公因子的情況。盡管由于中國古代沒有素?cái)?shù)及互素概念，化約過程中走了些彎路，但這畢竟是在世界上第一次系統(tǒng)解決這類問題。在歐洲，現(xiàn)代數(shù)學(xué)大師歐拉、高斯才達(dá)到這種水平。本書用大衍總數(shù)術(shù)解決了歷法制定、土木建筑、利息、追及以至斷案等各種實(shí)際問題，還用來附會(huì)《周易》大衍之?dāng)?shù)的計(jì)算，這便是為什么秦九韶把這種方法冠以“大衍”的名稱。大衍求一術(shù)及蓍卦發(fā)微題草中有“天元一”,清《四庫》館臣誤以為即天元術(shù)，焦循撰《天元一釋》為之辨正，今《辭源》仍悉用《四庫》館臣的錯(cuò)誤看法。
本書第2-9類按應(yīng)用對象分類，第2天時(shí)類解決歷法制定、天象測算、測算降雨降雪量等中的數(shù)學(xué)問題，其中的天池盆是世界文化史上最早的雨量器。第3田域類。計(jì)算了各種形狀的田地面積計(jì)算的復(fù)雜問題，反映了江南人民圍海、圍湖造田的創(chuàng)舉。第4測望類是測望山、水、城、塔，修復(fù)古跡及測望敵軍的遠(yuǎn)近等問題。第5賦役類是關(guān)于田賦、戶稅問題，反映了南宋賦稅的實(shí)際情況，如復(fù)邑修賦問是計(jì)算曾被海水淹沒的大片土地重新修復(fù)后六鄉(xiāng)九等田按各鄉(xiāng)人數(shù)、田地等級(jí)分配每畝田應(yīng)出的苗米、和買、夏稅，問題的答案有180多項(xiàng)。第6錢谷類是征購米糧和倉庫容積問題，設(shè)計(jì)了由于南宋各地加大量器，增加田租造成量器混亂而出現(xiàn)的數(shù)學(xué)計(jì)算問題，記載了南宋發(fā)行世界上最早的紙幣會(huì)子及新舊會(huì)子的兌換情況。第7營建類是建筑各種城邑、臺(tái)亭以及開挖河渠、修造石壩中的數(shù)學(xué)問題，其中計(jì)造清臺(tái)問是世界上現(xiàn)存最早的天文臺(tái)設(shè)計(jì)圖。第8軍旅類是關(guān)于營盤布置，測算敵方人數(shù)，以及軍需供應(yīng)等方面的數(shù)學(xué)問題。將軍旅類列為一類，加上測望類的2個(gè)望敵題目，共11個(gè)軍事問題，這在中國古代重要數(shù)學(xué)著作中是僅見的，這是秦九韶所處的時(shí)代邊患嚴(yán)重，宋金、宋元戰(zhàn)爭激烈的反映，并體現(xiàn)了秦九韶將自己豐富深邃的數(shù)學(xué)知識(shí)為抗元戰(zhàn)爭服務(wù)的主戰(zhàn)派立場。第9市物類處理國內(nèi)外商業(yè)貿(mào)易和利息問題，反映了當(dāng)時(shí)從海外進(jìn)口香料，官方頒行的鹽鈔、度牒等有價(jià)證券在海外取得信用的情況?？傊緯^承了《九章算術(shù)》開創(chuàng)的數(shù)學(xué)理論密切社會(huì)實(shí)際需要的優(yōu)良傳統(tǒng)，關(guān)于南宋社會(huì)經(jīng)濟(jì)情況記述之翔實(shí)，不亞于《宋史》。
本書第2-9類用到了《九章算術(shù)》以來的許多數(shù)學(xué)方法，并有了創(chuàng)造性的發(fā)展。其中，最重要的是以增乘開方法為主導(dǎo)的正負(fù)開方術(shù)，即現(xiàn)今求高次方程正根的秦九韶程序。這種方法在西方稱為霍納法，或霍納-魯菲尼方法，是意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼和英國數(shù)學(xué)家霍納在19世紀(jì)初創(chuàng)造的，比秦九韶晚出近六百年。增乘開方法是北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)造的，它以隨乘隨加代替以往開方中一次利用賈憲三角各廉相乘，變乘為加，程序整齊簡便。12世紀(jì)劉益又引入負(fù)系數(shù)開方。本書的正負(fù)開方術(shù)則把增乘開方法發(fā)展到十分完備的程度：規(guī)定常數(shù)項(xiàng)永為負(fù)，相當(dāng)于把方程常數(shù)項(xiàng)從右端移到左端，于是可把隨乘隨加進(jìn)行到底；方程系數(shù)可正可負(fù)，可為分?jǐn)?shù)，亦可為小數(shù)，并針對系數(shù)為無理數(shù)，開方過程中常數(shù)項(xiàng)絕對值變大，或由負(fù)變正等不同情況，創(chuàng)造了不同的處理方法，后兩種情況分別稱為換骨和投胎；開方不盡時(shí)，秦九韶繼承劉徽求微數(shù)的方法，以十進(jìn)小數(shù)表示無理根的近似值，本書十進(jìn)小數(shù)的記法與現(xiàn)今十分相近(用單位作為小數(shù)點(diǎn)),為中國成為世界上最早使用小數(shù)的國家作出了貢獻(xiàn)。本書中共21個(gè)問題用開方術(shù)解決，含有32個(gè)二次或更高的開方式，其中二次26個(gè)，三次1個(gè)，四次4個(gè)，十次1個(gè)。值得注意的是遙度圓域和三斜求積等問，前者在列十次方程時(shí)用到了勾股差率，是另一種勾股數(shù)通解公式，后者含有用三角形三邊求其面積的公式，與古希臘海倫公式暗合，此公式還用于斜蕩求積、計(jì)地容民等問題的解決。
《九章算術(shù)》的方程術(shù)即線性方程組解法中用直除法，劉徽創(chuàng)造了互乘相消法，但近千年未引起人們的重視，本書卷三綴術(shù)推星，卷十七推求物價(jià)、均貨推本三問用方程術(shù)求解，完全廢止了直除法，提出了互乘相消法的完整術(shù)文，與今之解法無異，是個(gè)貢獻(xiàn)。在有的題目中，在互乘前先進(jìn)行約簡，更簡化了運(yùn)算程序。
本書數(shù)學(xué)成就之高深，題設(shè)之復(fù)雜，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了以往同類著作。但是，也有不容忽視的缺點(diǎn)，主要是計(jì)算錯(cuò)誤太多，幾乎每類問題都有可指責(zé)的術(shù)、草，而且愈是淺顯的問題，錯(cuò)誤愈多。