指用邏輯方法來判斷數(shù)學(xué)命題真實性的技能。它是數(shù)學(xué)中最重要的技能之一。
數(shù)學(xué)證明技能訓(xùn)練的基本要求是：①懂得數(shù)學(xué)證明過程往往表現(xiàn)為一系列的推理(參見“數(shù)學(xué)推理的技能”),其依據(jù)(論據(jù))是本論題的題設(shè)、已建立的概念、公理和已證明了的真實命題。②能熟練掌握和運用形式邏輯的基本規(guī)律：同一律(在給定的一個思維過程中，使用的概念和判斷必須保持同一),矛盾律(在同一個思維過程中對于同一對象的兩個互相矛盾或互相反對的判斷中至少有一個是錯誤的),排中律(在同一論證過程中，對同一對象的兩個矛盾判斷中必有一個是真的),充足理由律(任何判斷都必須有充足的理由才被認(rèn)為是真的)。③熟練掌握直接證法：由論題的題設(shè)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，經(jīng)過一系列推理，直接得出結(jié)論。它是數(shù)學(xué)證明大多采用的方法。懂得直接證法分綜合法(由因?qū)Ч?,分析法(執(zhí)果索因),逆證法(要證“若A則D”,先證明了“若D則A”,再說明每一步推理都可逆，而得“若A則D”。)并懂得它們的特點，弱點和作用。綜合法簡捷，邏輯關(guān)系表現(xiàn)得清楚，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中有它的弱點，每一步在做什么，怎樣做，不那么容易看清楚，而每一步怎么想到的更容易使人困惑，尤其困難的是如何找出作為論證出發(fā)點的真命題。用分析法時，要證的命題本身就是出發(fā)點，而且思路自然，學(xué)生能夠自己主動進(jìn)行思考，但思路的逆向使得表述困難。最好把兩者結(jié)合使用，先用分析法思考，尋求解法，然后用綜合法表述，加以證明。對一些比較復(fù)雜的問題，要會用“兩頭湊”的辦法，從已知條件出發(fā)，看可以得出什么結(jié)果，從要證明的結(jié)論開始尋求，看它的成立需要哪些條件，兩方面的差距在哪里，從而找出正確的證題途徑。而逆證法具有明顯的局限性，它只能用于證明題設(shè)和題斷互為充要條件的特殊命題。④掌握間接證法：證明某個與要證的命題邏輯等價的命題為真，而得出結(jié)論。懂得間接證法分反證法和同一法。要熟練掌握反證法：它是從題斷的反面出發(fā)，以有關(guān)的定義、公理、定理為前提，結(jié)合題設(shè)，通過推理而得邏輯矛盾。它的主要邏輯基礎(chǔ)是排中律。當(dāng)原論題結(jié)論的矛盾方面不止一種情況時，要全部列舉出，一一否定(窮舉歸謬)。同一法是對符合同一法則的論題，不證明原論題為真，而先證其逆命題為真，再說明原論題結(jié)論中所指的對象與條件中所指的對象都唯一存在，從而是同一對象，得原論題為真。同一法的證明很容易改為反證法的敘述方法，故同一法可看成反證法的特殊情況(找的邏輯矛盾是與該對象的唯一性矛盾)。⑤在進(jìn)行數(shù)學(xué)證明時，應(yīng)首先考慮直接證法。當(dāng)直接證法不易證明，甚至不能證明時，就必須考慮反證法。