今有戶(hù)高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問(wèn)戶(hù)高、廣各幾何？
術(shù)曰：令一丈自乘為實(shí)。半相多，令自乘，倍之，減實(shí)，半其馀。以開(kāi)方除之，所得，減相多之半，即戶(hù)廣。加相多之半，即戶(hù)高。

漢《九章算術(shù)·勾股》

【評(píng)】此實(shí)際上是已知弦和勾股差求勾、股的問(wèn)題：
令戶(hù)廣為勾，高為股，兩隅相去一丈為弦，高多于廣六尺八寸為勾股差。按圖為位，弦冪適滿(mǎn)萬(wàn)寸。倍之，減勾股差冪，開(kāi)方除之。其所得即高廣并數(shù)。以差減并而半之，即戶(hù)廣；加相多之?dāng)?shù)，即戶(hù)高也。
今此術(shù)先求其半。一丈自乘為朱冪四、黃冪一。半差自乘，又倍之，為黃冪四分之二。減實(shí)〔原本“黃”訛作“朱”,脫“四分之二減實(shí)”六字，戴震?！?半其馀，有朱冪二、黃冪四分之一〔原本此四字訛作“四半一丈”,戴震校正〕。其于大方得〔原本訛作“棄”,依錢(qián)寶琮?！乘姆种弧９书_(kāi)方除之，得高廣并數(shù)之半〔原本脫“之”字，半”下衍“并數(shù)”,依戴震校 減差半，得廣；加，得戶(hù)高。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

【評(píng)】劉徽在這里將《九章算術(shù)》戶(hù)高多于廣的問(wèn)題抽象成已知勾股差和弦求勾、股的問(wèn)題，并將其求法化簡(jiǎn)為

同時(shí)，用出入相補(bǔ)原理對(duì)之作了證明。
又按：此圖冪〔原本“圖”訛作“圓”,戴震校〕:勾股相并冪〔原本脫“冪”,依意補(bǔ)〕而加其差冪，亦減弦冪，為積，蓋先見(jiàn)其弦，然后知其勾與股。今適等，自乘，亦各為方，〔此下原本有“先見(jiàn)其弦，然而后知其勾與股，適等者，令自乘，亦”凡十九字，乃復(fù)衍上文，今刪〕合〔原文訛作“令”,依意改〕為弦冪。而差數(shù)無(wú)者〔此二字原本訛作“復(fù)先”,依意改〕,此各自乘之，而與相乘數(shù)，各為門(mén)實(shí)。及股長(zhǎng)勾短，同源而分流焉。假令勾、股各五，弦冪五十，開(kāi)方除之，得七尺，有馀一，不盡。假令弦十，其冪有百，半之為勾、股二冪〔原本訛作“勾股弦三冪”,戴震校刪〕,各得五十，當(dāng)亦不可開(kāi)。故曰：圓三、徑一，方五、斜七，雖不正得盡理，亦可言相近耳。
其勾股合而自相乘之冪者，令弦〔原本脫“弦”字，戴震補(bǔ)〕自乘，倍之為兩弦冪〔原本脫“倍之”、“弦”三字，“兩”訛作“四”,依戴震校補(bǔ)〕,以減之，其馀開(kāi)方除之〔原本“其馀”二字竄入“除之”下，戴震?！?為勾股差。加于合而半，為股；減差于合而半之，為勾。勾、股、弦即高、廣、衺〔原本脫“勾”字，“衺”作“袤”,李潢校補(bǔ)〕。其出此圖也，其倍弦為廣、袤。(此句亦有誤)
令矩勾^①即為冪，得廣即勾股差。其矩勾之冪，倍勾〔原本脫此字，依意補(bǔ)〕為從法，開(kāi)之亦勾股差。以勾股差冪減弦冪〔原本“以”上衍“其馀”二字，脫“差”、“弦冪”三字，依錢(qián)寶琮校刪〕,半其馀，差為從法，開(kāi)方除之，即勾也。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

〔注〕①此“矩勾”為b²- a²,與趙爽之“矩勾”、劉徽本人之“勾矩”為c²-b²均不同。
【評(píng)】以上三段為劉徽進(jìn)一步討論有關(guān)勾股差的問(wèn)題。第一段討論勾股相等時(shí)勾、股及其冪的關(guān)系；第二段討論勾股差與勾股合的關(guān)系，由勾股恒等式求出a,b;第三段提出勾股差與矩勾的幾個(gè)關(guān)系：b²-a²＝(a+b)(b-a),(b-a)²+(b-a)a=b²-a²,及由勾股差求勾：
a²+(b-a)a=,后二者實(shí)際上是開(kāi)帶從平方求b-a,a。劉徽此注擴(kuò)充了《九章算術(shù)》的內(nèi)容。原文錯(cuò)訛嚴(yán)重，戴震等學(xué)者改易太多，此為重校。
勾股較與弦求股法曰：弦自乘，半較自乘，倍之，減積，馀，半之，開(kāi)方，減半較為勾，加較為高^①。

《九章算術(shù)·勾股》宋·賈憲細(xì)草
(見(jiàn)《宜稼堂叢書(shū)》本楊輝《詳解九章算法》)

【注】此即公式
【評(píng)】賈憲在《九章算術(shù)》有關(guān)例題和術(shù)文基礎(chǔ)上提出了由勾股差與弦求勾、股的抽象公式。