予至東平^①,得一算經(jīng)，大概多明如積之術(shù)。以十九字識其上、下層數(shù)。曰：仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。此蓋以人為太極，而以天、地各自為元而陟降之。其說雖若膚淺，而其理頗為易曉。予遍觀諸家如積圖式，皆以天元在上，乘則升之，除則降之，獨太原彭澤彥材法，立天元在下^②。凡今之印本復(fù)軌等書，俱下置天元者，悉踵習彥材法耳。彥材在數(shù)學中，亦入域之賢也，而立法與古相反者，其意以為天本在上，動則不可復(fù)上，而必置于下，動則徐上，亦猶易卦，乾在坤下，坤在乾上，二氣相交而為太也，故以乘則降之，除則升之。求地元則反是。

元·李冶《敬齋古今黈》卷三

[注]①東平，今山東省，李冶父李遹于1213年任東平府治中，李冶得算經(jīng)，當在此時。②天元即未知數(shù)。天元術(shù)即今設(shè)未知數(shù)列方程的方法。天元式古法表示為：

其c為常數(shù)項，李冶稱為太或太極。而a₁……a_n分別為x,……x_n的系數(shù)，b₁……b_n分別為x^-1……x^-n的系數(shù)。其表示法仍為分離系數(shù)的位置值表示。
【評】有關(guān)天元術(shù)的早期著作全部亡佚。李冶這段記載是天元術(shù)表示法早期發(fā)展的寶貴資料。李冶本人處于古法變今法的過程中，他的《測圓海鏡》用古法，《益古演段》則用今法。
《黃帝九章》以降，算經(jīng)多矣，不可枚舉。唐、宋設(shè)明算科，立法取士，不出《九章》、《周髀》、《海島》、《孫子》、《張丘建》、《夏侯陽》、《五曹》、《五經(jīng)算》、《緝古》、《綴術(shù)》數(shù)家而已。然天、地、人、物四元罔有云及一者。厥后平陽^①蔣周撰《益古》,博陸^②李文一撰《照膽》,鹿泉^③石信道撰《鈐經(jīng)》,平水^④劉汝諧撰《如積釋鎖》,絳人^⑤元裕細草之，后人始知有天元也。

《四元玉鑒》元·祖頤后序

[注]①平陽，今山西省臨汾縣。②博陸，今河北省蠡縣。③鹿泉，今河北省獲鹿縣。④平水，即平陽。⑤絳，今山西省絳縣。
【評】這是元人關(guān)于天元術(shù)早期發(fā)展的又一不可多得的資料。值得注意的是，這些著作，除《益古》、《鈐經(jīng)》外，李冶沒有提到過，可見，天元術(shù)在金、元時代是廣泛流傳的方法。據(jù)信，《益古》等著作未使用天元術(shù)，而石信道《鈐經(jīng)》可能是天元術(shù)的先驅(qū)。
[假令有圓城一所，不知周徑，四面開門，]或問丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之，[問徑幾里？]^①
又法：二行相乘，得數(shù)，又自之，為三乘方實；并二行步，以乘二行相乘數(shù)，又倍之，為從；二行相并數(shù)，以自乘，于上，又二行相減數(shù)，自乘，減上位，為第一廉；第二廉空；一益隅，益積開方，得半徑。(原注：其第一廉，只是四段二行相乘數(shù)。)^②
草曰：立天元一為半城徑，副置之，上加南行步，得，為股；下位加東行步，得元，為勾^③。勾、股相乘，得，為直積一段，以天元除之，得，為弦。以自之，得 ,為弦冪^④。寄左。乃以勾自之，得。又以股自之，得，二位相并，得，為同數(shù)^⑤。與左相消，得益積開三乘方^⑥,得一百二十步，即半城徑也。

元·李冶《測圓海鏡》卷七

[注]①《測圓海鏡》自卷二起，題目都假設(shè)“假令有圓城一所，
不知周徑，四面開門”,今補足。自卷二第二題起，問答語均為
“問答同前”,今以第一問“問徑幾里”易之，以便讀者。②設(shè)
東出門為a₁,南出門為b₁,此表示四次方程：-x⁴+[(a₁+b₁)²-(b₁-a₁)²]x²+2(a₁+b₁)a₁b₁x+(a₁b₁)²＝0。③《測圓海鏡》以古法表示，即未知數(shù)的高次冪在上。此句意為設(shè)x為圓半徑，則x+135為股，x+16為勾，即a=x+a₁,b=x+b₁。原文為籌式，今改阿拉伯數(shù)字。下同。④此由勾股形面積，ab=cx,故＝x²+302x+27121+652320x^-1+4665600x^-2。。⑤又，c²＝a²+b²＝ (x₁+a₁)²+ (x+b₁)²＝2x² + 302x+ 18481。⑥此謂[(x+a₁)²+(x+b₁)²]=0,即-x²+8640+652320^x-1+4665600^x-2＝0,亦即-x⁴+8640x²+652320x+4665600=0。
【評】天元術(shù)是李冶解決《測圓海鏡》的問題的主要工具。天元術(shù)產(chǎn)生前，列出開方式是非常復(fù)雜的思維過程，列三次以上開方式更為復(fù)雜，天元術(shù)的誕生，使之十分簡明。其基本思路是，根據(jù)題設(shè)條件，立天元一為某某，列出兩個同值天元式，即今之謂多項式，兩者相消，便成為一個開方式。這實際上是一種半符號代數(shù)學。由例可以看出，人們已經(jīng)熟練地掌握了多項式的加、減、乘、除(只限于單項式作除式)運算。
一氣混元，今有黃方乘直積得二十四步。只云股弦和九步，問勾幾何？
草曰：立天元一為勾，如積求之，得一百六十二個黃方

(士琳按：四象細草假令之圖，所以發(fā)揮四元而作也，特草中僅列諸式，其何以如積求之之故，缺而未明，茲逐細詳演于后，別之曰補草。
羅士琳補草曰：立天元一，為勾，自之，得，為勾冪，合以股弦和九步除之，為股弦較。今不除，便以為九個股弦較^①。副以九通天元，得，為九個勾^②。以九個股弦較減之，得，為九個黃方^③。以九通九步得八十一步，為九個股弦和^④,以九個股弦較減之，得為十八個股^⑤,乘天元勾，得為十八個直積^⑥。以九個黃方乘之，得為一百六十二個黃方乘直積^⑦,寄左。乃以一百六十二通二十四步，得三千八百八十八步，為同數(shù)^⑧,與左相消，得，開四乘方^⑨,得三步，合問。)

元·朱世杰《四元玉鑒·假令》

[注]①此源于a²＝(c+b)(c-b),因c+b=9故a²＝9(c-b)。②同樣(c+b)a=9a。③(c+b)a-(c+b)(c-b)=(c+b)(a+b-c),c+b=9,a+b-c為黃方之面，故(9a-a²)為9個黃方。④同樣(c+b)²＝9(c+b)為81。⑤此謂(c+b)²-(c+b)(c+b)=2(c-b)·b,故81-a2為18個股。⑥ab為直積，2(c+b)·ba=81a-a³為18個直積。⑦此謂2(c+b)ab×(c+b)(a+b-c)=2(c+b)²ab(a+b-c) =729a²-81a³-9a⁴+a⁵為162個黃方乘直積。⑧由題設(shè)黃方乘直積為24步，162個黃方乘直積為3888步為同數(shù)。⑨如積相消得開方式為a⁵-9a⁴-81a³+729a²-3888=0,求a。
【評】此為朱世杰《四元玉鑒》關(guān)于一元高次開方式的例題。采用天元的高次冪在下的記法，李冶在《益古演段》中即采用這種記法。
嘗讀《授時歷草》求弦矢之法，先立天元一為矢。而元學士李冶所著《測圓海鏡》亦用天元一立算。傳寫魯魚，算式訛舛，殊不易讀。前明唐荊川、顧箬溪^①兩公互相推重，自謂得此中三昧。荊川之說曰：藝士著書，往往以秘其機為奇。所謂立天元一云爾，如積求之云爾，漫不省其為何語。而箬溪則言：細考《測圓海鏡》,如求城徑即以二百四十為天元，半徑即以一百二十為天元，既知其數(shù)，何用算為，似不必立可也。二公之言如此。余于顧說頗不謂然，而無以解也。后供奉內(nèi)廷，蒙圣祖仁皇帝^②授以借根方法，且諭曰：“西洋人名此書為阿爾熱八達，譯言東來法^③也?！本词芏x之，其法神妙，誠算法之指南。而竊疑天元一之術(shù)，頗與相似。復(fù)取《授時歷草》觀之，乃渙如冰釋，殆名異而實同，非徒曰似之已也。夫元時學士著書，臺官治歷，莫非此物。不知何故遂失其傳。猶幸遠人慕化，復(fù)得故物，東來之名，彼尚不能忘所自，而明人獨視為贅疣而欲棄之。噫！好學深思如唐、顧二公，猶不能知其意，而淺見寡聞?wù)?，又何足道哉，何足道哉?br>

清·梅瑴成《赤水遺珍·天元一即借根方解》(見《梅氏叢書輯要》)

[注]①即唐順之、顧應(yīng)祥。②即清康熙皇帝，愛新覺羅·玄燁。③即Algebra的音譯，代數(shù)學。
【評】梅瑴成批評顧應(yīng)祥等人不懂天元術(shù)反而對李冶妄加指責，指出天元術(shù)與西方之借根方法實質(zhì)相同，都是十分正確的。而奉阿爾熱巴達系東來法為圣旨，致使謬種流傳，反映了封建士大夫階層一部分人中國中心論的心態(tài)。
天元一之名，不著于古籍。金元之間，李仁卿^①學士作《測圓海鏡》、《益古演段》兩書，以暢發(fā)其旨趣。宋末秦道古《數(shù)學九章》^②,亦有立天元一法，而術(shù)與李異。蓋各有所授也。元世祖并宋之后，郭邢臺^③用李氏之法，造授時術(shù)，其學頗顯著于世。明顧箬溪不知所謂，毅然刪去細草。終明之世，此學遂微。

清·焦循《天元一釋》上(清嘉慶版《里堂學算記》)

[注]①即李冶，仁卿，其字。②即秦九韶《數(shù)書九章》。道古，九韶之字。③郭邢臺即郭守敬，邢臺，其籍貫。
【評】焦循簡要概括了天元術(shù)的興衰，并指出秦九韶之“立天元一”不是天元術(shù)。
且算術(shù)大至躔離交食，細至米鹽瑣屑，法甚繁已。以立天元一演之，莫不能其法。故立天元一者，算學中之一貫也。

清·李善蘭《測圓海鏡序》

【評】李善蘭高度評價了天元術(shù)的作用。