算術(shù)求積尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬之類，物形備矣，獨(dú)未有“隙積”一術(shù)。古法，凡算方積之物，有“立方”,謂六冪皆方者，其法再自乘則得之。有“塹堵”,謂如土墻者，兩邊殺，兩頭齊，其法：并上下廣，折半以為之廣，以直高乘之，又以直高為股，以上廣減下廣，馀者半之為勾，勾股求弦，以為斜高。有“芻童”,謂如覆斗者，四面皆殺，其法：倍上長加入下長，以上廣乘之，倍下長長加入上長，以下廣乘之，并二位法，以高乘之，六而一?！跋斗e”者，謂積之有隙者，如累棋、層壇、及酒家積罌之類，雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失于數(shù)少。予思而得之，用芻童法為上行；下行：別列下廣，以上廣減之，馀者以高乘之，六而一，并入上行^①。

宋·沈括《夢(mèng)溪筆談》卷一八

〔注〕①這實(shí)際上是一種二階等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式，其項(xiàng)為ab,(a+1)(b+1),(a+2) (b+2)……(a+n-1)(b+n-1),沈括給出其公式為S={〔2a+(a+n-1)〕b+〔a+2(a+n-1)〕(b+n-1)}+(n-1)。
【評(píng)】沈括適應(yīng)北宋手工業(yè)高度發(fā)展，計(jì)算酒壇等堆垛的需要，提出了二階等差級(jí)數(shù)求和公式，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史高階等差級(jí)數(shù)研究的先河。此后楊輝、朱世杰在這方面貢獻(xiàn)卓著，蓋源于沈括隙積術(shù)。隙積術(shù)的堆垛，楊輝稱之為芻童果子垛。
果子一垛，下方一十四個(gè)，問計(jì)幾何？
術(shù)曰：下方加一乘下方為平積，又加半為高，以乘平積〔原本訛作“下方”,今校正〕為高積，如三而一^①。

宋·楊輝《詳解九章算法·商功》

〔注〕①此為楊輝為《九章算術(shù)·商功》方錐問所作“比類”的內(nèi)容，此方錐形果子垛實(shí)際上是求二階等差級(jí)數(shù)1,4,9,16,……的前n項(xiàng)之和：S=n(n+1)(n+)。
方垛，上方四個(gè)，下方九個(gè)，高六個(gè)，問計(jì)幾何？
術(shù)曰：上下方各自乘，上下方相乘本法，上方減下方，馀半之，元〔原本訛作“圓”,今校正〕積添此相并，以高乘，三而一^①。

宋·楊輝《詳解九章算法·商功》

〔注〕①此為商功章方亭問的比類，實(shí)際上也是二階等差級(jí)數(shù)m²,(m+1)²,(m+2)²,…,(m+n-1)²的前n項(xiàng)和的求和公式：
S=[m²+(m+n-1)²+(m+n-1)m+]=-(3m²+n²+3mn-3m-)。
三角垛，下廣一面一十二個(gè)，上尖，問計(jì)幾何？
術(shù)曰：下廣，加一乘之，平積，下廣加二乘之立高，方積如六而一，本法^①。

宋·楊輝《詳解九章算法·商功》

術(shù)曰：置底面數(shù)，張三位，本位不加，中加一，下加二，于內(nèi)取一位可以六除者，六除訖，以三位相乘為積。

宋·楊輝《算法通變本末》卷上

〔注〕①疑此術(shù)文有訛舛，其意思是明確的，如《算法通變本末》的術(shù)文，為二階等差級(jí)數(shù)1,3,6,10,…,的前n項(xiàng)和公式S=n(n+1)(n+2)。
【評(píng)】以上三種二階等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式，實(shí)際上是沈括隙積術(shù)的特例，在隙積術(shù)中，令a=b=1,便是方錐果子垛；令a=b,便是方垛，令a=1,b=2,便是兩個(gè)三角垛。雖然，楊輝仍擴(kuò)充了高階等差級(jí)數(shù)研究的內(nèi)容。
今有茭草一垛，直錢二十五貫五百七十八文。只云最上一束，直錢九文，次下層層每束累貴三文。問底子幾何？
術(shù)曰：立天元一為茭草底子，如積求之，得一十五萬三千四百六十八為益實(shí)，二十一為從方，二十七為從廉，六為從隅，立方開之^①,合問。
草曰：立天元一為茭草底子，倍累貴三文，得六為直差，乘天元得于上，副以最上九文，三之，得二十七，減直差，馀二十一，加上得，以天元乘之，得，又以天元加一，得乘之，得，合以六除之，為共直^②,今不除，便為六倍共直寄左。乃以六通共直，得十五萬三千四百六十八為同數(shù)，消左，得，開立方，得二十八束，合問。

茭草束	1	2	3	4	5	6	7	8	9
乘得數(shù)	9	24	45	72	105	144	189	240	297
拋差	9	12	15	18	21	24	27	30	33

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
360	429	504	585	672	765	864	969	1080	1197
36	39	42	45	48	51	54	57	60	63
20	21	22	23	24	25	26	27	28
1320	1449	1584	1725	1872	2025	2184	2349	2520
66	69	72	75	78	81	84	87	90

右圖列茭草束于上方，列拋差于下方，上、下相乘置得數(shù)于中央，并上方所列為共積，并中央所得為共直錢。

元·朱世杰《四元玉鑒·茭草形段》

〔注〕①此為三次開方式6x³+27x²+21x-153468=0。②這實(shí)際上是二階等差級(jí)數(shù)部分和公式。設(shè)首項(xiàng)為a₁(即最上一束直錢);其通項(xiàng)為m〔a₁-(m-1)b〕,則前n項(xiàng)之和為。此處n實(shí)際上是上開方式中的x。