弧背求通弦法 以弧背本數(shù)為第一條^①。次以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率^②。次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數(shù)。四除之，又二除之，又三除之，得數(shù)為第二條，應減，另書之^③。次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第六率數(shù)。四除之，又四除之，又五除之，得數(shù)為第三條，應加，書于第一條之下^④。次置第三條，以三率乘之，一率除之，得第八率數(shù)。四除之，又六除之，又七除之，得數(shù)為第四條，應減，書于第二條之下^⑤。第一條、第三條相并，第二條、第四條相并，兩總數(shù)相減，得數(shù)即通弦^⑥。
按：此法與求正弦法^⑦同，但通加一四除耳。若四除第三率為常用之數(shù)，則每次之四除，可省。通弦求弧背同此。

清·明安圖《割圓密率捷法》卷一

[注]①設2a為弧背，即弧長，2a為第一項。②r為第一率，2a為第二率，為第三率。③為第四率。為第二項，為負項。④為第六率，為第三項，正項。⑤為第八率。為第四項，負項。⑥此即以弧背求通弦公式：⑦即杜德美傳入的“弧背求正弦”公式其中α為弧a所對的圓心角。此公式為英人格利高里1667年所創(chuàng)，國人不知，誤為杜德美法。
弧背求矢法 以半徑為連比例第一率，弧背為連比例第二率，求得連比例第三率^①。四除之，又二除之，得數(shù)為第一條^②。次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第五率數(shù)。四除之，又三除之，又四除之，得數(shù)為第二條，應減，另書之^③。次置第二條，以三率乘之，一率除之，得第七率數(shù)。四除之，又五除之，又六除之，得數(shù)為第三條，應加，書于第一條之下^④。次置第三條，以三率乘之，一率除之，得第九率數(shù)。四除之，又七除之，又八除之，得第四條，應減，書于第二條之下^⑤。第一條、第三條相并，第二條、第四條相并，兩總數(shù)相減，得數(shù)即矢^⑥。
按：此法與弧背求正矢^⑦同。但通加一四除耳。若四除第二率為常用之數(shù)，則每次之四除可省，矢求弧背亦同。

清·明安圖《割圜密率捷法》卷一

[注]①r為第一率。2a為第二率。為第三率。②為第一項。③為第五率。為第二項，負項。④為第七率。為第三項，正項。⑤為第九率。為第四項，負項。⑥此即“弧背求矢”的公式：⑦此弧背求正矢法亦為杜德美傳入的格利高里法：
通弦求弧背法 以通弦本數(shù)為第一條。次以半徑為連比例第一率，通弦為連比例第二率，求得連比例第三率。次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數(shù)。四除之，又二除之，又三除之，得數(shù)為第二條。次置第二條，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第六率數(shù)。四除之，又四除之，又五除之，得數(shù)為第三條。次置第三條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率數(shù)。四除之，又六除之，又七除之，得數(shù)為第四條。次置第四條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率數(shù)。四除之，又八除之，又九除之，得數(shù)為第五條。次置第五條，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率數(shù)。四除之，又十除之，又十一除之，得數(shù)為第六條。次置第六條，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率數(shù)。四除之，又十二除之，又十三除之，得數(shù)為第七條。次置第七條，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率數(shù)。四除之，又十四除之，又十五除之，得數(shù)為第八條。并諸條，得總數(shù)，即弧背^①。
按：此即前圜徑求周^②所用之法也。若二率與一率等，則比例可省。諸法不論求弧線、求直線，但視第幾條得數(shù)首位已在單位下，便可住。若首位尚在單位前者，須依次再推方密。

清·明安圖《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即由通弦c求弧背2a的公式：

②此即杜德美所傳入的求周徑密率捷法：

正弦求弧背法 以正弦本數(shù)為第一條。次以半徑為連比例第一率。正弦為連比例第二率。求得連比例第三率。次置第一條，以三率乘之，一率除之，得第四率數(shù)。二除之，又三除之，得數(shù)為第二條。次置第二條，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第六率數(shù)。四除之，又五除之，得數(shù)為第三條。次置第三條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率數(shù)。六除之，又七除之，得數(shù)為第四條。次置第四條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率數(shù)，八除之，又九除之，得數(shù)為第五條。次置第五條，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率數(shù)，十除之，又十一除之，得數(shù)為第六條。次置第六條，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率數(shù)。十二除之，又十三除之，得數(shù)為第七條。次置第七條，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率數(shù)，十四除之，又十五除之，得數(shù)為第八條。并諸條，得總數(shù)即弧背^①。
按：此法與通弦求弧背法同，但通省一四除耳。

清·明安圖《割圓密率捷法》卷一

[注]①此即由正弦求弧背的公式

正矢求弧背法 倍正矢為第一條。次以半徑為連比例第一率。倍正矢為連比例第三率。三率自乘，一率除之，得第五率數(shù)。三除之，又四除之，得數(shù)為第二條。次置第二條，四因之，又以三率乘之，一率除之，得第七率數(shù)。五除之，又六除之，得數(shù)為第三條。次置第三條，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第九率數(shù)。七除之，又八除之，得數(shù)為第四條。次置第四條，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率數(shù)。九除之，又十除之，得數(shù)為第五條。次置第五條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率數(shù)。十一除之，又十二除之，得數(shù)為第六條。次置第六條，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率數(shù)。十三除之，又十四除之，得數(shù)為第七條。次置第七條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率數(shù)。十五除之，又十六除之，得數(shù)為第八條。并諸條，得總數(shù)，又為連比例第三率，與連比例第一率半徑相乘，開平方得連比例第二率即弧背^①。
按：此法與通弦、正弦求弧背之理同，唯多一開平方耳。除法始于三、四，乘法遞加一數(shù)，以自乘用數(shù)小異焉。

清·明安圖《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即“正矢求弧背”公式：

矢求弧背法 置矢，八乘之，(原注：即四乘，又二乘。)得數(shù)為第一條。次以半徑為連比例第一率，第一條為連比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率數(shù)。四除之，又三除之，又四除之，得數(shù)為第二條。次置第二條，四乘之，又以三率乘之，一率除之，得第七率數(shù)。四除之，又五除之，又六除之，得數(shù)為第三條。次置第三條，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第九率數(shù)。四除之，又七除之，又八除之，得數(shù)為第四條。次置第四條，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率數(shù)。四除之，又九除之，又十除之，得數(shù)為第五條。次置第五條，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率數(shù)。四除之，又十一除之，又十二除之，得數(shù)為第六條。三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率數(shù)。四除之，又十三除之，又十四除之，得數(shù)為第七條。次置第七條，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率數(shù)。四除之，又十五除之，又十六除之，得數(shù)為第八條。并諸條，得總數(shù)，又為連比例第三率，與連比例第一率半徑相乘，開平方，得連比例第二率，即弧背^①。
按：此法與正矢求弧背同，但第一條加一四因，馀加一四除耳。以上九法^②皆至精至密，任有圜線求直線，有直線求圜線，雖推至無窮，靡不合也。

清·明安圖《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即公式②明安圖自創(chuàng)六法，加他在此前引用的杜德美傳入三法，共九法。
【評】以上六法是明安圖在傳教士杜德美傳入的三個三角級數(shù)展開式的基礎上所創(chuàng)造的六個三角函數(shù)冪級數(shù)展開式。此六式及杜氏傳入三條合成《割圜密率捷法》卷一的主要內容，在陳際新續(xù)稿完成之前，卷一曾單獨流傳，十八世紀被誤為“杜氏九術”。直至十九世紀上葉，羅士琳、岑建功為之正名。
先生初聞杜泰西圜徑求周、弧背求弦求矢之法，知其義深藏而不可不求甚解，欲自立一法，以觀其同異。因思古法有二分弧法，西法又有三分弧法，則遞分之，必有法也。由是思之，遂得五分弧及七分弧。次列三分弧、五分弧、七分弧三數(shù)觀之，見其數(shù)可依次加減而得，遂加減至九十九分弧，然其分數(shù)皆奇數(shù)也。又思之，遂得二分弧。依前法遞推至四分弧、六分弧，加減至百分弧，則偶數(shù)亦備矣。然猶分而不能合也。又思之，奇偶可合矣。然逐層求之，數(shù)多則繁，若累至千萬分，猶未易也。又思之，其數(shù)可超位而得，則以二分弧、五分弧求得十分弧，以十分弧求得百分弧，以十分弧、百分弧求得千分弧，以十分弧、千分弧求得萬分弧。既得百分弧、千分弧、萬分弧三數(shù)，然后比例相較而弧、矢、弦相求之密率捷法于是乎成。

清·陳際新《弧、矢、弦相求圖解(清·明安圖《割圜密率捷法》卷三)

弧，圜線也；弦，直線也，二者不同類也。不同類，雖析之至于無窮，不可以一之也。然則終不可相求乎？非也。弧與弦雖不可以一之，茍析之至于無窮，則所以不可以一之故見矣。得其不可一之故，即可因理以立法，是又未嘗不可以一之也，何為而不可相求乎？

清·明安圖《割圜密率捷法》卷三

【評】以上兩段系陳際新“親承指授”而轉述明安圖發(fā)明割圜密率捷法的思路。其中“析之至于無窮”的看法，含有極限思想。杜德美傳入三個三角級數(shù)展開式而無證明方法。明安圖窮三十年辛勤鉆研，證明了杜氏傳入三式及自己創(chuàng)造的六個公式，以幾何線段的連比例關系為依據(jù)，計算了各展開式的系數(shù)，為三角函數(shù)展開式的研究開辟了一條新路。
有通弦求通弧加倍幾分之通弦。(原注：凡弦之倍分，皆取奇數(shù)。)
術曰：置弧分自乘，減一為第一乘數(shù)；復置自乘數(shù)，減九為第二乘數(shù)；復置自乘數(shù)，減二十五為第三乘數(shù)；依次列之，乃置弧分乘通弦本數(shù)為第一數(shù)，寄左。次以半徑為連比例第一率；通弦本數(shù)為第二率；二率自乘，一率除之，得第三率；以第一數(shù)乘之，一率除之，得第四率；第一乘數(shù)乘之，四除之，又二除之、三除之，為第二數(shù)寄右。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第六率，第二乘數(shù)乘之，四除之，又四除之，五除之，為第三數(shù)，寄左。次置第三數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第八率，第三乘數(shù)乘之，四除之，又六除之，七除之，為第四數(shù)，寄右。第一數(shù)與第三數(shù)相并，第二數(shù)與第四數(shù)相并，左右相減，即所求通弦^①。單位以下棄之，未至單位者，依次求之，雖未至單位，如減數(shù)適足弧分自乘數(shù)而無乘數(shù)者，即以前所得數(shù)并減之，不復遞求。(原注：如三倍弧則無第三數(shù)，五倍弧則無第五數(shù)。)
有矢求通弧加倍幾分之矢。(原注：凡矢之倍分，奇耦通用。)
術曰：置弧分自乘，四倍之，減四，為第一乘數(shù)，復置四倍自乘數(shù)，減十六，為第二乘數(shù)，復置四倍自乘數(shù)，減三十六，為第三乘數(shù)，依次列之，乃置弧分自乘數(shù)，乘矢本數(shù)，為第一數(shù)，寄左。次以半徑為連比例第一率，矢本數(shù)二乘之為第三率，以第一數(shù)乘之，一率除之，得第五率，第一乘數(shù)乘之，四除之，又三除之，四除之，為第二數(shù)，寄右。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第七率，第二乘數(shù)乘之，四除之，又五除之，六除之，為第三數(shù)，寄左。次置第三數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第九率，第三乘數(shù)乘之，四除之，又七除之，八除之，為第四數(shù)，寄右。第一數(shù)與第三數(shù)相并，第二數(shù)與第四數(shù)相并，左右相減，即所求矢^②。單位以下棄之，未至單位者，依次求之，雖未至單位，如減數(shù)適足四倍弧分自乘數(shù)而無乘數(shù)者，即以前所得數(shù)并減之，不復遞求。(原注：如二倍弧則無第三數(shù)，三倍弧則無第四數(shù)。)
有通弦求幾分通弧之一通弦(原注：此亦取奇數(shù)。)
術曰：置弧分自乘，減一，為第一乘數(shù)，復置自乘數(shù)，九乘之，減一為第二乘數(shù)，復置自乘數(shù)，二十五乘之，減一為第三數(shù)，依次列之。乃置通弦本數(shù)，以弧分除之，為第一數(shù)。次以半徑為連比例第一率，弧分除通弦為第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，二率乘之，一率除之，得第四率，第一乘數(shù)乘之，四除之，又二除之，三除之，為第二數(shù)。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第六率，第二乘數(shù)乘之，四除之，又四除之，五除之，為第三數(shù)。次置第三數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第八率，第三乘數(shù)乘之，四除之，又六除之，七除之，為第四數(shù)。以諸數(shù)相并，即所求通弦^③。單位以下棄之。未至單位者，依次求之。
有矢求幾分通弧之一矢。(原注：此亦奇耦通用。)
術曰：置弧分自乘，四倍之，減四，為第一乘數(shù)；復置四倍自乘數(shù)，四乘之，減四，為第二乘數(shù)；復置四倍自乘數(shù)，九乘之，減四，為第三乘數(shù)；依次列之。乃置弧分自乘數(shù)除矢本數(shù)，為第一數(shù)。次以半徑為連比例第一率，弧分自乘數(shù)除矢本數(shù)，又二乘之，為第三率，以第一數(shù)乘之，一率除之，得第五率，第一乘數(shù)乘之，四除之，又三除之，四除之，為第二數(shù)。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第七率，第二乘數(shù)乘之，四除之，又五除之，六除之，為第三數(shù)。次置第三數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第九率，第三乘數(shù)乘之，四除之，又七除之，八除之，為第四數(shù)。以諸數(shù)相并，即所求矢^④。單位以下棄之。未至單位者，依次求之。
右四術為立法之原。杜氏九術由此推衍而歸于簡易。

清·董祐誠《割圜連比例圖解》卷上(《董方立遺書》)

[注]①設一弧分成n等分，每分弧的通弦為c_n,中矢為b_n,全弧通弦c,中矢b,此為全弧通弦c用分弧通弦c_n的冪級數(shù)展開式②此為全弧中矢b用分弧中矢b_n的冪級數(shù)展開式③此為分弧通弦用全弧通弦的級數(shù)展開式：④此為分弧中矢用全弧中矢的級數(shù)展開式：
【評】以上四個公式，董祐誠稱之為“立術之源”,杜德美傳入三術及明安圖所創(chuàng)六術，都可以由之推衍出來。
知本度通弦求他度通弦法
以所知度為分母，所求度為分子。(原注：分子、母可約者約之，從簡。)分母自乘，與分子自乘相減為第一乘法^①。分母自乘，九乘之，與分子自乘相減為第二乘法^②。分母自乘，二十五乘之，與分子自乘相減為第三乘法^③。分母自乘，四十九乘之，與分子自乘相減為第四乘法^④。凡分母自乘內減分子自乘者為正乘法，分子自乘內減分母自乘者為負乘法，相減適盡者，下更無數(shù)，不須求，故亦無乘法。乃置本度通弦，以分子乘之，分母除之，為第一數(shù)^⑤。次以半徑為連比例第一率^⑥;分母除通弦為第二率^⑦;二率自乘，一率除之，得第三率^⑧。置第一數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第四率^⑨。第一乘法乘之，四除之，又二除之，三除之，為第二數(shù)^⑩。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第六率⁽¹¹⁾。第二乘法乘之，四除之，又四除之，五除之，為第三數(shù)⁽¹²⁾。次置第三數(shù)，三率乘之，一率除之，得第八率⁽¹³⁾。第三乘法乘之，四除之，又六除之，七除之，為第四數(shù)⁽¹⁴⁾。依是遞次乘除，得各數(shù)漸小，至單位止。第一數(shù)常為正，第二數(shù)下為正乘法所得者，前一數(shù)正者正之，負者負之，為負乘法所得者，前一數(shù)正者負之，負者正之，但有正數(shù)，并正數(shù)，即所求通弦；兼有負數(shù)，并正數(shù)，與并負數(shù)相減，即所求通弦⁽¹⁵⁾。

清·項名達《象數(shù)一原》卷五

[注]①設本度通弦為c_m,所求度通弦為c_n,m,n分別為本度及所求度，則m²-n²為第一乘法。②9m²-n²為第二乘法。③25m²-n²為第三乘法。④49m²-n²為第四乘法。⑤為第一數(shù)。⑥r為第一率。⑦為第二率。⑧為第三率。⑨為第四率。⑩為第二數(shù)。⑾為第六率。⑿為第三數(shù)。⒀為第八率。⒁為第四數(shù)。(15)此即本度通弦求他度通弦的公式
知本度矢求他度矢法
以所知度為分母，所求度為分子。分母自乘，與分子自乘，相減為第一乘法^①。分母自乘，四乘之，與分子自乘，相減為第二乘法^②。分母自乘，九乘之，與分子自乘，相減為第三乘法^③。分母自乘，十六乘之，與分子自乘，相減為第四乘法^④。凡分母自乘，內減分子自乘者為正乘法，分子自乘，內減分母自乘者為負乘法。相減適盡者，下更無數(shù)，不須求，故亦無乘法。置本度矢，以分子自乘乘之，分母自乘除之，為第一數(shù)^⑤。次以半徑為連比例第一率。分母自乘除矢，又二乘之，為第三率^⑥。置第一數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第五率。第一乘法乘之，三除之，四除之，為第二數(shù)^⑦。次置第二數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第七率。第二乘法乘之，五除之，六除之，為第三數(shù)^⑧。次置第三數(shù)，以三率乘之，一率除之，得第九率。第三乘法乘之，七除之，八除之，為第四數(shù)^⑨。依是遞次乘除，得各數(shù)漸小，至單位止。第一數(shù)常為正。第二數(shù)下為正乘法所得者，前一數(shù)正者正之，負者負之，為負乘法所得者，前一數(shù)正者負之，負者正之。但有正數(shù)，并正數(shù)，即所求矢。兼有負數(shù)，并正數(shù)與并負數(shù)相減，即所求矢^⑩。

清·項名達《象數(shù)一原》卷五

[注]①設本度矢為V_m,他度矢為V_n,m,n分別為本度與所求度。m²-n²為第一乘法。②4m²-n²為第二乘法。③9m²-n²為第三乘法。④16m²-n²為第四乘法。⑤為第一數(shù)。⑥r為第一率。為第三率。⑦為第五率。為第二數(shù)。⑧為第七率。為第三數(shù)。⑨為第九率，為第四數(shù)⑩此即由本度矢V_m求他度矢V_n的公式
總論曰：圜中諸線，其率互通，理數(shù)精微，實難思議。酌定此二術，凡勾股割圜，六宗、三要、二簡法，與夫杜氏九術、董氏四術均于此得其會通焉。

清·項名達《象數(shù)一原》卷五

【評】以上三條概述了項名達提出的由本度通弦或矢求他度通弦或矢的公式。他的總論指出此二公式概括了董祐誠的四術，事實上，董氏四術分別是此二式中m=1或n=1的情形。項名達還將此二式應用于m=30°求某度n°的正弦、正矢：