今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙會(huì)。問(wèn)甲、乙行各幾何？
術(shù)曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減于七自乘，馀為南行率。以三乘七為乙東行率。置南行十步，以甲邪行率乘之。副置十步，以乙東行率乘之，各自為實(shí)。實(shí)如南行率而一，各得行數(shù)。

漢《九章算術(shù)·勾股》

【評(píng)】此為《九章算術(shù)》極其重要的一個(gè)題目。它實(shí)際上提出了世界上第一個(gè)勾股數(shù)組通解公式：

a:b:c=[m²-(m²+n²)]:mn:(m²+n²)

,
其中m,n互素的條件，在實(shí)際上是滿足的。古希臘的柏拉圖、歐幾里得等只提出了某些特殊情形。公元三世紀(jì)丟番都提出了與《九章算術(shù)》類似的公式，晚出三百馀年。
今有邑方一十里，各中開門。甲、乙俱從邑中央而出。乙東出；甲南出，出門不知步數(shù)，邪向東北磨邑隅，適與乙會(huì)。率：甲行五，乙行三。問(wèn)甲、乙行各幾何？
術(shù)曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，為邪行率。邪行率減于五自乘者，馀，為南行率。以三乘五，為乙東行率。置邑方半之，以南行率乘之，如東行率而一，即得出南門步數(shù)。以增邑方半，即南行。置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求東行者，以東行率乘之，各自為實(shí)。實(shí)如南行率，得一步。

《九章算術(shù)·勾股》

【評(píng)】此術(shù)與上術(shù)同，亦提出了勾股數(shù)通解公式，正如劉徽指出的：“求三率之意與上甲、乙同”。這再一次表明，《九章算術(shù)》實(shí)際上掌握了勾股數(shù)該通解公式的一般形式。
此以南行為勾，東行為股，邪行為弦。并勾弦[原本脫“弦”字，依意補(bǔ)]率七。欲引者，當(dāng)以股率自乘[原本脫此四字，依意補(bǔ)]為冪，如并而一，所得為勾弦差率[原本脫“率”字，依意補(bǔ)]。加并，之半為弦率，以差率減[原本脫“弦”、“差”二字，參考戴震補(bǔ)],馀為勾率。如是或有分，當(dāng)通而約之乃[原本訛作“及”,戴震校]定。術(shù)以勾弦并率[此四字原本訛作“可使”,依錢寶琮校]為分母，故令勾弦并自乘為朱、黃相連之方。股自乘為青冪之矩，以勾弦并為袤，差為廣，今有相引之直，加損同上。其圖[原本訛作“圓”,戴震校]大體，以兩弦為袤，勾弦并[此二字，大典本訛作“股”,戴震校]為廣。引橫斷其半為弦率，列用率七自乘者，勾弦并之率，故弦減之，馀為勾率。同立處是中停也，皆勾弦并為率，故亦以勾率同其袤也。南行十步者，所有見勾求見弦、股，故以弦、股率乘[原本脫“乘”字，李潢補(bǔ)],如勾率而一。

《九章算術(shù)·勾股》三國(guó)魏·劉徽注

【評(píng)】劉徽分別用解析方法和出入相補(bǔ)原理，對(duì)《九章算術(shù)》的勾股數(shù)公式作了證明，是為世界數(shù)學(xué)史上第一次證明。此注系于“二人同所立”問(wèn)之下。
法曰：勾弦和自乘，股率自乘，并而半之，為弦；以減和求勾，股率乘勾弦和率求股^①。以所有勾數(shù)乘所求勾、股、弦三率為列實(shí)，以所有勾率為法，除之。

《九章算術(shù)·勾股》宋·賈憲細(xì)草(《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章算法》)

【評(píng)】此為賈憲對(duì)求勾、股、弦三率(即勾股數(shù)通解公式)的進(jìn)一步抽象。
以三率之中率為主，倍中率為股，首末二率相減為勾，相加為弦。

清·王元啟《勾股衍·答友問(wèn)勾股書》

【評(píng)】此實(shí)際上給出勾、股、弦三率為：