《四元玉鑒》是中國古代重要數(shù)學(xué)著作，宋元數(shù)學(xué)高潮的代表作之一。元朱世杰撰。大德七年(1303)刻于揚州，莫若序.祖頤后序。此刻本今不傳。明至清中葉，吳敬、顧應(yīng)祥、周述學(xué)、梅彀成等數(shù)學(xué)家都見過此書，是否讀懂是有懷疑的，因此未引起重視。清乾嘉間整理古算風(fēng)起，嘉慶間阮元在浙江訪得此書，呈入四庫，并將鈔本囑李銳(1768-1817)算校，銳臨終前僅校數(shù)段，何元錫隨即按鈔本刊刻。此后沈欽裴、羅士琳、徐有壬、戴煦、李善蘭、陳棠等都對本書作過深入研究。沈欽裴作《四元玉鑒細(xì)草》,有兩種抄本，一為5冊本，白桂貞、白焜道光元年(1821)抄，只草至卷中；一為6冊本，為全帙，有沈氏道光九年(1829)自序。沈氏對四元消法及高階等差級數(shù)求和問題都有很好的理解，某些方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過后來的羅士琳，可惜其細(xì)草未能刊刻，影響不大，甚至有人認(rèn)為不如羅氏細(xì)草。這兩個抄本今藏北京圖書館。羅士琳道光初年開始研究此書的各版本，歷10余年，撰《四元玉鑒細(xì)草》24卷，道光十七年(1837)刊行。羅氏提出校改130余處，并對每一問都給出詳草，后來諸版皆宗于此，成為研究本書之必讀作品，影響甚大，然對四元消法及對各高階等差級數(shù)的解釋，未能盡合朱世杰原意。李善蘭作《四元解》(1845),亦不理想。陳棠作《四元消法易簡草》(1899)對理解本書較有裨益。李儼、錢寶琮、嚴(yán)敦杰、杜不然等都對本書作過深入研究。本世紀(jì)以來還出現(xiàn)了若干用西方文字研究本書的著作。三上義夫、薩頓、李約瑟等用英文介紹過本書。赫師慎將假令四草譯成了法文，謝元作出版了研究本書的法文專著。陳在新將本書譯成英文，可惜未能出版。
朱世杰(生卒年不詳),字漢卿，號松庭，燕( 一說燕山，今北京市或其附近)人。元統(tǒng)一中國后，以數(shù)學(xué)名家周游湖海20余年，踵門而學(xué)者云集。他繼承宋元期間北方太行山兩側(cè)及南方長江中下游地區(qū)兩個數(shù)學(xué)中心的研究成果，集中了中世紀(jì)中國數(shù)學(xué)成就之大成，著《算學(xué)啟蒙》及本書，先后于大德三年(1299)、七年(1303)在揚州刊刻，在四元術(shù)即多元高次方程組解法、垛積術(shù)即高階等差級數(shù)求和、招差術(shù)及乘除捷算法等方面貢獻(xiàn)尤為突出。清中葉以來學(xué)者一致認(rèn)為他兼秦(九韶)、李(冶)之長而在秦、李二家之上。他是中國古代最后一位有領(lǐng)先于世界的重大創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家。
本書卷首首先列出4種圖：今古開方會要之圖，包含梯法七乘方圖與古法七乘方圖兩幅，前者即增乘開方法之圖示，蓋增乘開方又稱為遞增開方、梯法開方，后者是一種9層8次方的賈憲三角。值得注意的是朱世杰用平行于兩斜邊的兩組平行線將各廉聯(lián)結(jié)起來，說明其用途不僅在立成釋鎖開方，亦用于高階等差級數(shù)求和；四元自乘演段之圖，即四元勾a、股b、弦c、黃方a+b-c的四種關(guān)系的乘積圖示；五和自乘演段之圖，即弦較和(b-a)+c、勾股和a+b、勾弦和a+c、股弦和b+c、弦和和(a+b)+c五種關(guān)系的乘積圖示；五較自乘演段之圖，即勾股較b-a、股弦較c-b、勾弦較c-a、弦和較(a+b)-c、弦較較c-(b-a)五種關(guān)系的乘積圖示。接著列出四象細(xì)草假令之圖，給出了 一氣混元、兩儀化元、三才運元、四象令元4個例題，分別是天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)的解題模式。這些圖和題目都是舉例發(fā)凡，貫穿全書的綱紀(jì)。
本書分3卷、24門、288問。卷上7門55問(含假令四草),直段求源18問、混積問元18問，都是各種田畝面積問題；端匹互隱9問，是有關(guān)羅、綾等織物的計算問題；廩粟回求6問，是谷物容積問題；商功修筑7問，是各種土木建筑問題；和分索引13問，是關(guān)于分?jǐn)?shù)的各種運算。卷中10門，103問，如意混和2問，是難度較大的混合問題；方圓交錯9問，是方田與圓田的混合問題；三率究圓14問，以古率π=3、微率157/50、密率(實際上應(yīng)為約率)22/7計算有關(guān)圓與球的問題；明積演段20問、勾股測望8問，是有關(guān)勾股形及測望問題的計算問題；或問歌錄12問，是以詩歌形式給出的計算問題，其中有二元術(shù)2問、三元術(shù)1問；茭草形段7問、箭積交參7問，在用天元術(shù)求解時都要用到垛積術(shù)；撥換截田19問是截割田畝的面積問題；如象招數(shù)5問，在用天元術(shù)求解時要用到招差術(shù)。卷下8門，110問。果垛疊藏20問，用天元術(shù)求解時要用到垛積術(shù)；鎖套吞容19問，是各種圖形相互交錯，求所余面積；方程正負(fù)8問，都是先用方程術(shù)，后用天元術(shù)求解；雜范類會13問，是各種雜題；兩儀合轍12問、左右逢元21問，是用二元術(shù)解決各種勾股及面積問題；三才變通11問，是用三元術(shù)解決的各種勾股問題；四象朝元6問，是用四元術(shù)解決的各種勾股問題。
本書全部用天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)求解，其中36問用二元術(shù)，13問用三元術(shù)，7問用四元術(shù)，其余232問都用天元術(shù)。天元術(shù)即設(shè)未知數(shù)天元列出現(xiàn)今一元方程的方法，二元術(shù)是設(shè)未知數(shù)天元、地元列出二元高次方程組并消元的方法，三元術(shù)是設(shè)未知數(shù)天元、地元、人元列出三元高次方程組并消元的方法，四元術(shù)是設(shè)未知數(shù)天元、地元、人元、物元列出四元高次方程組并消元的方法。天元術(shù)至遲在李冶(1192—1279)時代就有成熟的方法。據(jù)祖頤為本書所撰后序說，在天元術(shù)產(chǎn)生后，“平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》,兼有地元，霍山邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》,末僅有人元二問。吾有燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之頤，索《九章》之隱，按天、地、人、物立成四元”,大體概述了自天元術(shù)到四元術(shù)的發(fā)展過程，可惜上述朱世杰之前的著作均失傳。本書是現(xiàn)存中國也是全世界記載多元高次方程組的最早著作。四元消法，即多元高次方程組消去法是本書的突出創(chuàng)造。其程序基本上是將四元消成三元，將三元消成二元，再消成一元高次方程，用增乘開方法求解。到底如何消法，因本書提示過于簡略，歷來有爭論，杜石然認(rèn)為沈欽裴的解釋更符合朱氏原意。四元消法，至今仍有應(yīng)用價值。在歐洲，多元高次方程組消去法在1779年法國數(shù)學(xué)家別朱(Bézout)才有系統(tǒng)的敘述。然而，四元式采取常數(shù)項居中(以太字表示),天、地、人、物四元分列于太之下、左、右、上的布列方法，4個未知數(shù)占滿了平面上4個方位，顯然，無法考慮5個或更多的未知數(shù)的高位方程組，是其缺點。
本書提出的許多問題在用天元術(shù)解決時，必須用到垛積術(shù)，因此，高階等差級數(shù)求和問題是本書的另一項重要成就。朱世杰在沈括、楊輝的基礎(chǔ)上，解決了更高階的等差級數(shù)求和問題。他的茭草垛、三角垛(或稱落一形垛)、撒星形垛(或稱三角落一形垛)、三角撒星形垛(或稱撒星更落一形垛)、三角撒星更落一形垛的求和公式，形成了一個完整的系統(tǒng)：

p=1,2,3,4,5,便是上述各垛積的求和公式。顯然，前一式的前r項之和，恰恰是后一式的第r項，這正是朱世杰把后一垛稱為前一垛的落一形垛的原因。同時，由朱世杰在賈憲三角上劃的斜線看出，第p條斜線上前n個數(shù)之和恰恰是第p+1條線上的第n個數(shù)，這可能提示了上述垛積公式是由賈憲三角推得的。這串公式是朱世杰垛積招差問題的中心。朱世杰還解決了四角垛、嵐峰形垛、三角嵐峰形垛(或稱嵐峰更落一形垛)等垛的求和問題，也成為一系統(tǒng)，其求和公式為

當(dāng)p=1,2,3時便是上述諸垛的求和公式(p=1的情況出現(xiàn)在《算學(xué)啟蒙》中)。本書還有一些更復(fù)雜的垛積求和問題。
本書的招差問題與垛積問題互為表里，也是最精彩的部分之一，在中國也是在全世界第一次給出了4次差的招差公式：

其中△1、△₂、△₃、△4分別為一次差、二次差、三次差、四次差。本書明確指出，該公式中的各系數(shù)是三角垛的和，因此，人們認(rèn)為朱世杰已經(jīng)掌握了任意高次差的招差法。在歐洲，直到17世紀(jì)牛頓、格里高利才取得了同樣的結(jié)果。