今有勾五步，股一十二步。問勾中容方幾何？
術(shù)曰：并勾、股為法，勾股相乘為實，實如法而一，得方一步。

漢《九章算術(shù)·勾股》

【評】此為勾股容方問題。已知勾a,股b,則所容正方形邊長d=。是為中國古代勾股算術(shù)中一類重要問題。
勾股相乘為朱、青、黃冪各二^①。令黃冪袤于隅中。朱、青各以其類，令從其兩徑，共成修之冪。方中黃為廣，并勾股為袤^②。故并勾股為法。

《九章算術(shù)·勾股》三國魏·劉徽注

〔注〕①黃冪即勾股形所容之正方形。朱、青分別是該正方形一邊與勾、股剩馀部分所構(gòu)成的小勾股形。以勾、股為邊的長方形含有朱、青、黃冪各二個。②將此長方形變成以正方形一邊長為廣，勾股相并為從的長方形，其面積不變。
【評】此為劉徽所記以出入相補(bǔ)原理對《九章算術(shù)》勾股容方公式的證明。
冪圖〔原本訛作“圓”,戴震校正〕方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股袤，而其相與之勢不失本率也①。勾面之小勾、股，股面之小勾、股，各〔原本脫“股”上之“勾”字及“小勾股各”凡五字，“勾面”訛作“勾中”,依意校補(bǔ)〕并為中率。令股為中〔原本此處衍“方”字，今依上、下文刪〕率，并勾、股為率〔原本脫“率”字，依意補(bǔ)〕,據(jù)見勾五步而今有之，得中方也②。復(fù)令勾為中率，以并〔原本脫“并”字，戴震補(bǔ)〕勾股為率，據(jù)股十二步而今有之，則中方又可知〔“可知”,原本訛作“何如”,戴震校正〕。此則雖不效而法，實有法由生矣。

《九章算術(shù)·勾股》三國魏·劉徽注

〔注〕①此即相似勾股形對應(yīng)邊成比例的原理，即a∶b∶c=a′∶b′∶c′,是為中國古代解勾股形和測望問題的重要原理。②這里用到合比定律，若，則，由于此處a′+b′=b,a′=d,故。
【評】此為劉徽用勾股形“相與之勢不失本率”的原理及合比定律證明《九章算術(shù)》的勾股容方公式。
勾股旁要法曰(直田斜解勾股二段，其一容直，其一容方，二積相等。馀勾馀股相乘亦得容積之?dāng)?shù)):勾股相乘為實，并勾股為法，除之，得勾中容方。(積內(nèi)有一容直，故用勾除橫積并股除直積得所容方也。)以容直或方外馀勾股相乘得容積之實，(勾股中直積一段，大勾股一段，小勾股一段。)如馀勾而一，得股長，如馀股而一，得勾闊^①。

《九章算術(shù)·勾股》宋·賈憲細(xì)草
(載《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章算法》)

〔注〕①楊輝《詳解九章算法·九章纂類》將此法分成兩法，“以容直”以下稱為“馀勾股求容積法”。
【評】此法前半段是《九章算術(shù)》勾股容方公式的改寫。值得注意的是賈憲兩個自注，前者提出了一個重要原理：一長方形分成二勾股形，則從弦上一點出發(fā)的容方容直面積相等；后者提出容方新公式：。法的后半段給出三個公式：容積=馀勾×馀股；股=;勾=。賈憲稱之為“勾股旁要法”。按：“旁要”系古“九數(shù)”之一 ,后并入“勾股”,其確切涵義和內(nèi)容不得而知，賈憲的說法提供了理解“旁要”的一個線索。
直田之長名股，其闊名勾，于兩隅角斜界一線，其名弦。弦之內(nèi)外分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直。二積之?dāng)?shù)皆同^①。以馀勾除橫積得積外之股，以馀股除直積得積外之勾，二者相通。

宋·楊輝《續(xù)古摘奇算法》

【評】這是勾股容方問題的發(fā)展。楊輝的概括比賈憲更具普遍性，它在以出入相補(bǔ)原理證明勾股、測望問題中有重大作用。