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?)術曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。
漢《九章算術·商功》
此章諸術亦以周三徑一為率,皆非也。于徽術,當以周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,三百一十四而一。此之圓冪,亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田,而以高乘冪也。
《九章算術·商功》三國魏·劉徽注
【評】此二段分別為《九章算術》所提出的圓柱體體積公式,劉徽對《九章算術》諸圓體體積公式使用π≈3的批評,以及用π≈157/50對《九章算術》圓柱體積公式的修正。
術曰:置米積尺,以十二乘之,令高而一。所得,開方除之,即周。
漢《九章算術·商功》
于徽術,當置米積尺,以三百一十四乘之,為實。二十五乘囷高,為法。所得,開方除之,即周也。此亦據見冪以求周,失之于微少也。
按:此術本周自相乘,以高乘之,十二而一,得此積。今還元,置此積,以十二乘之,令高而一,即復本周自乘之數(shù)。凡物自乘,開方除之,復其本(原本此衍“周自乘之”四字,李潢刪)數(shù)。故開方除之,即得也。
《九章算術·商功》三國魏·劉徽注
【評】此三段分別為《九章算術》提出的已知圓柱體體積求其周的方法。劉徽用π≈157/50對《九章》圓柱求高法的修正,以及劉徽對該方法的證明。