今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
方程[原本無此二字，戴震補](劉徽注：程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程^①。行之左右無所同存，且為有所據(jù)而言耳。此都術(shù)也，以空言難曉，故特系之禾以決之。又列中、左[原本脫“左”字，錢寶琮補]、行如右行也。)術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右行。中、左禾列如右方^②。以右行上禾偏乘中行而以直除^③。(劉徽注：為術(shù)之意，令少行減多行，反覆相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害馀數(shù)之課也。若消去頭位，則下去一物之實。如是疊令左右行相減，審其正負，則可得而知。先令右行上禾乘中行，為齊同^④之意。為齊同者，謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣。)又乘其次，亦以直除。(劉徽注：復(fù)去左行首。)然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。(劉徽注：亦令兩行相去行之中禾也。)左方下[原本訛作“上”,戴震校]禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。(劉徽注：上、中禾皆去，故馀數(shù)是下禾實，非但一秉。欲約眾秉之實，當以禾秉數(shù)為法。列此，以下禾之秉數(shù)[原本訛作“實”,錢寶琮校]乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣。各以其馀一位之秉除其下實。即計數(shù)矣，用算繁而不省。所以別為法，約也。然猶不如自用其舊，廣異法也。)求中禾，以法乘中禾下實而除下禾之實。(劉徽注：此謂中兩禾實，下禾一秉實數(shù)先見，將中秉求中禾，其列實以減下實。而左方下禾雖去一秉，以法為母，于率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法為母，而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數(shù)，即得下禾一位之列實。減[原本脫“減”字，戴震補。]于下實，則其數(shù)是中禾之實也。)馀，如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實。(劉徽注：馀，中禾一位之實也。故以一位秉數(shù)約之，乃得一秉之實也。)求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。(劉徽注：此右行三禾共實，合[原本訛作“令”,戴震校正]三位之實，故以二位秉數(shù)約之，乃得上禾[原本“二”訛作“一”,脫“上禾”二字，戴震校補。]一秉之實。此右行三禾共實，今中、下禾之實。其數(shù)并見，令乘(原本“今”訛作“合”,脫“令乘”二字，錢寶琮校補。]右行之禾秉以減之，故亦如前，各求列實，以減下實也。)馀，如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。(劉徽注：三實同用。不滿法者，以法命之。母、實皆當約[原本訛作“除”,錢寶琮校正]之。)

漢《九章算術(shù)·方程》

[注]①方程即今線性方程組，與今方程含義不同。現(xiàn)今解方程，古稱開方術(shù)。②此即相當于現(xiàn)今線性方程相當于現(xiàn)今線性方程組③方程兩行對應(yīng)項同時對減，稱作直除。除，減也。④此為劉徽將齊同原理推廣到方程術(shù)。以方程中甲行某項系數(shù)(比如左行首項3)乘乙行(比如中行)所有項，便是齊，即使乙行中其馀各項與首項相齊。然后用甲行對減乙行，直至乙行首項為0(此處減2次),作到兩項首項同。用李淳風的話說，即是“同其首項，齊其諸下”。
【評】此為《九章算術(shù)》所提出的方程術(shù)及其劉徽注。《九章算術(shù)》的直除消元法與現(xiàn)今線性方程組解法異曲同工，其位置值和分離系數(shù)表示法與今矩陣表示法相類，是《九章算術(shù)》最杰出的成就。劉徽指出它是普遍方法。劉徽提出了方程的定義，以及“舉率以相減，不害馀數(shù)之課”(即兩行相減，不影響方程的解)的原理作為消元法的理論基礎(chǔ)，與現(xiàn)代線性代數(shù)理論一致。