增乘開平方法^①(原注：以商數(shù)乘下法，遞增求之。):商第一位。上商得數(shù)以乘下法為乘方，命上商除實(shí)。上商得數(shù)以乘下法，入乘方?！惨陨蟽伞俺朔健?《九章纂類》及此下“增乘開平方圖”作“平方”。〕一退為廉，下法再退。商第二位，商得數(shù)以乘下法為隅，命上商除實(shí)，訖。以上商得數(shù)乘下法入隅，皆名曰廉，一退；下法再退，以求第三位商數(shù)。商第三位，用法如第二位求之。
增乘開平方圖^②(原注：以圖參法，取用可知。)

《九章算術(shù)·少廣》宋·賈憲細(xì)草(《永樂大典》卷一六三四四引楊輝《詳解》)

〔注〕①楊輝在《九章纂類》中抄錄此法，文字稍異。②此以為例說明增乘開平方法程序，其根為268。圖中數(shù)字原為籌式，今改阿拉伯?dāng)?shù)字。
【評】增乘開方法是賈憲最重大的創(chuàng)造。它采用隨乘隨加代替一次使用賈憲三角的系數(shù)，使開方法更加程序化，對宋元數(shù)學(xué)高度發(fā)展有極大影響。歐洲十九世紀(jì)初的霍納法，其程序與此相似。
增乘方法^①(原注：立方原是乘，而又乘至數(shù)，今以增乘為除，求源。)草^②曰：實(shí)上商置第一位得數(shù)(一百),以上商乘下法，置廉(一百)。乘廉為方(一萬)。除實(shí)。訖，復(fù)以上商(一百)乘下法入廉(共二百),乘廉入方(共三萬),又乘下法入廉(共三百),其方一、廉二、下三退(定十)。再于第一位商數(shù)之次復(fù)商第二位得數(shù)(二十),以乘下法入廉(共三百二十),乘廉入方(共三萬六千四百),命上商，除實(shí)。訖(馀一十三萬二千八百六十七),復(fù)以次商(二十)乘下法入廉(共三百四十),乘廉入方(共四萬三千二百尺),又乘下法入廉(共三百六十),其方一、廉二、下三退。如前上商第三位得數(shù)(三尺),乘下法入廉(共三百六十三),乘廉入方(共四萬四千二百八十九),命上商(三尺),除實(shí)，適盡，得立方一面之?dāng)?shù)。

《九章算術(shù)·少廣》宋·賈憲細(xì)草(《永樂大典》卷一六三四四引楊輝《詳解》)

〔注〕①楊輝在《九章纂類》中亦抄錄此法，文字全同。②以下是法、草合一，括號內(nèi)為草，外為法，草以=123為例。
【評】此為賈憲提出的增乘開立方法程序及其應(yīng)用。
積一百三十三萬六千三百三十六尺。問為三乘方幾何？
遞增三乘開方法草^①曰：(原注：上商得數(shù)，下法增為立方，除實(shí)，即原乘意。)置積為實(shí)，別置一算，名曰下法。于實(shí)末常超三位約實(shí)。(原注：一乘超一位，三乘超三位，萬下定實(shí)。)上商得數(shù)(三十),乘下法，生下廉(三十):乘下廉，生上廉(九百);乘上廉，生立方(二萬七千)。命上商，除實(shí)(馀五十二萬六千三百三十六)。作法商第二位得數(shù)。以上商乘下法入下廉(共六十);乘下廉入上廉(共二千七百);乘上廉入方(共一十萬八千)。又乘下法入下廉(共九十);乘下廉入上廉(共五千四百)。又乘下法入下廉(共一百二十)。方一、上廉二、下廉三、下法四退(方一十萬八千，上廉五千四百，下廉一百二十，下法定一)。又于上商之次續(xù)商置得數(shù)(第二位：四)。以乘下法入廉(一百二十四);乘下廉入上廉(共五千八百九十六);乘上廉并為立方(一十三萬一千五百八十四)。命上商，除實(shí)，盡，得三乘方一面之?dāng)?shù)。(如三位立方，依第二位取用。)

《九章算術(shù)·少廣》宋·賈憲細(xì)草
(《永樂大典》卷一六三四四引楊輝《詳解》)

〔注〕①此亦為法草合一：括號內(nèi)為草，外為法。
【評】此為賈憲提出的增乘開四次方的一般程序及其例題。在中國數(shù)學(xué)史上屬首次，說明賈憲確實(shí)已能開高于三次的方。
圓田一段，直徑十三步。今從邊截積三十二步。問所截弦、矢各幾步？
術(shù)曰：倍積自乘為實(shí)，四因積步為上廉，四因徑步為下廉，五為負(fù)隅，開三乘方除之，得矢。
草曰：倍田積自乘得四千九十六步為實(shí)，四因積步得一百二十八為上廉，別四因徑步得五十二為下廉，置五算為負(fù)隅。于實(shí)上商置得矢四步，以命負(fù)隅五，減下廉二十，馀三十二。以上商四步，依三乘方乘下廉，入上廉，共二百五十六，又以上商四步乘上廉，得一千二十四，為三乘方法，以上商命方法，除實(shí)，盡，得矢四步。

宋·劉益《議古根源》(宋·楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下引)

【評】此為形如-ax⁴+bx³+cx²＝A的開方式，其中a,b,c,A均為正，是為現(xiàn)存中國古算中第一次出現(xiàn)一般系數(shù)的四次方程。劉益用增乘開方法求解，說明劉益亦通增乘開方法。
尖田求積 問有兩尖田一段，其尖長不等。兩大斜三十九步，兩小斜二十五步。中廣三十步。欲知其積幾何？
術(shù)曰：以少廣求之，翻法入之，置半廣自乘，為半冪，與小斜冪相減，相乘，為小率。以半冪與大斜冪相減，相乘，為大率，以二率相減，馀自乘，為實(shí)。并二率，倍之，為從上廉。以一為益隅。開翻法三乘方，得積。(自注：一位開盡者，不用翻法。)
正負(fù)開三乘方圖
術(shù)曰：商常為正，實(shí)常為負(fù)，從常為正，益常為負(fù)。

已上系開三乘方翻法圖，后篇效此。

宋·秦九韶《數(shù)書九章·田域類》

〔注〕①原文中的數(shù)字為籌式，為便于閱讀，此改為阿拉伯?dāng)?shù)字。另，說明文字原在框內(nèi)，此移框外。②秦九韶規(guī)定“實(shí)常為負(fù)”,但有時(shí)開方中會(huì)變成正，秦氏稱為“換骨”,此處求一位得數(shù)后，實(shí)由-40642560000變成38205440000,便是“換骨”,相當(dāng)于劉益的翻積。故秦氏將帶有換骨的開方程序稱為開翻法某乘方。同時(shí)代北方李冶《測圓海鏡》則稱之為“益積”。
【評】秦九韶發(fā)展了賈憲的增乘開方法，使之成為求高次方程正根的完備的程序。他規(guī)定“實(shí)常為負(fù)”,可以將隨乘隨加進(jìn)行到底。以下的例子說明，他的方程的系數(shù)可正可負(fù)，可為整數(shù)，亦可為小數(shù)，并對開方中可能出現(xiàn)的特殊情形，根的近似值的確定等問題，都作了妥善處理。
古池推元 問有方中圓古池，湮圮止馀一角。從外方隅，斜至內(nèi)圓邊七尺六寸。欲就古跡修之，欲求圓、方、方斜各幾何？
術(shù)曰：以少廣求之，投胎術(shù)入之。斜自乘，倍之為實(shí)。倍斜為益方，以半為從隅，開投胎平方，得徑，又為方面。……
草曰：以斜七十六寸自乘，得五千七百七十六。倍之，得一萬一千五百五十二寸，為實(shí)。倍斜七十六寸，得一百五十二，為益方。以半寸為從隅，開平方。置實(shí)一萬一千五百五十二于上，益方一百五十二于中，從隅五分于下。超步，約得百，乃于實(shí)上商置三百寸。方再進(jìn)，為一萬五千二百，隅四進(jìn)，為五千。以商、隅相生，得一萬五千，為正方，以消益方一萬五千二百，其益方馀二百。次與商相生，得六百，投入實(shí)，得一萬二千一百五十二。又商、隅相生，又得正方一萬五千，內(nèi)消負(fù)方二百，訖，馀一萬四千八百，為從方。一退，為一千四百八十。以隅再退，為五十。乃于上商之次，續(xù)商置六十寸，與隅相生，增入正方，得一千七百八十。乃命驗(yàn)續(xù)商，除實(shí)，訖。實(shí)馀一千四百七十二。次以商生隅，增入正方，為二千八十。方一退，為二百八；隅再退，為五分。乃于續(xù)商之次，又商置六寸，與隅相生，增入正方，為二百一十一，乃命商，除實(shí)，訖。實(shí)不盡二百六寸。不開，為分子。乃以商生隅，增入正方，又并隅，共得二百一十四寸五分，為分母。以分子、分母求等，得五分為等數(shù)。皆以五分約其分子、分母之?dāng)?shù)，為四百二十九分寸之四百一十二。通命之，得池圓徑及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二?！?br>

宋·秦九韶《數(shù)書九章·測望類》

【評】此為用增乘開方法求0.5x²-152x-11552=0的正根。求根的第一位得數(shù)時(shí)，商隅相乘，其絕對值小于方，故加于方，方仍為負(fù)，致使實(shí)的絕對值增大，不合于開方過程中實(shí)的絕對值逐步變小的常規(guī)。秦氏稱為“投胎”。秦氏指出開方過程中有“投胎”、“換骨”的現(xiàn)象，意在指導(dǎo)人們在被開方數(shù)出現(xiàn)不尋常變化時(shí)放心開下去而不要不敢繼續(xù)開方。這種情況同時(shí)代北方的李冶在《測圓海鏡》中稱為“翻法”或“倒積”。此外，開方式本可推導(dǎo)成x²-304x-23104=0,不為此者非秦氏嘩眾取寵，意在說明各種開方情形。
環(huán)田三積 問環(huán)田、大小圓田共三段。環(huán)田外周三十步，虛徑八步，大圓田徑一十步，小圓田周三十步。欲知三田積及環(huán)內(nèi)周通、實(shí)徑，大圓周、小圓徑各幾何？
術(shù)曰：以方田及少廣率變求之?！铆h(huán)周冪，乘徑實(shí)，十六約之，為大率；置虛徑冪，乘內(nèi)周實(shí)，十六約之，為小率。以二率相減之馀，以自乘，為實(shí)。并二率，倍之，為從上廉。一為益隅，開三乘方，得環(huán)積?！溆虚_不盡者，約而命之。
草曰：……次以虛冪六十四，乘周實(shí)六百四十，得四萬九百六十。以十六約之，得二千五百六十，為小率。以小率減大率〔前已求出，大率為五千六十二步五分〕,馀二千五百二步五分。自乘，得六百二十六萬二千五百六步二分五厘，為實(shí)。以小大二率并之，得七千六百二十二步五分，倍之，得一萬五千二百四十五，為從上廉，以一為益隅，開玲瓏三乘方，得二十步，不盡三十二萬四千五百六步二分五厘為分子。續(xù)商無數(shù)，乃以益隅一、益下廉八十、并之得八十一，為減母，次以從上廉一萬二千八百四十五，并從方五十七萬七千八百，得五十九萬六百四十五，以減母八十一減之，馀五十九萬五百六十四為分母。以分子求等，得二分五厘，俱約之，得二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五。為環(huán)田積二十步二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五。

宋·秦九韶《數(shù)書九章·田域類》

【評】此為用增乘開方法求-x⁴+15245x²-6262506.25=0的正根，有兩點(diǎn)值得注意：一，被開方數(shù)為小數(shù)；二，開方不盡，其減根方程-y⁴-80y³+12845y²+577800y-324506.25=0,則以y=為其近似值。一般說來，設(shè)求出整數(shù)部分c后的減根開方式為a₀yⁿ+a₁y^n-1+…+a_n-1y+a_n＝0,則以為其根的近似值。
囤積量容 ……今出租斗一只，口方九寸六分，底方七寸，正深四寸，并里明準(zhǔn)尺。先令準(zhǔn)數(shù)造五斗方斛及圓斛各二只。須令二斛口徑正深大小不同，各得多少？……
術(shù)曰：以商功及少廣求之。……
求方斛①,先自如意立數(shù)，為斛深，又如意立數(shù)，為底方。置深為從隅，以底方乘隅為從方。又以底乘從方為減率，以減上積，馀為實(shí)。開連枝平方，得方斛口方。不盡，以所得數(shù)為基，增損求之?！?p align="center">

宋·秦九韶《數(shù)書九章·錢谷類》

[注]①方斛形狀猶《九章算術(shù)》方亭。開方式由此演繹出來。②原為籌式，今改為阿拉伯?dāng)?shù)字。
【評】此為用增乘開方法求16x2+ 192x-1863.2= 0的正根。值得注意的是，秦氏求出根的整數(shù)部分后，繼續(xù)開方，用十進(jìn)小數(shù)作為開方式無理根的近似值。是為劉徽開方不盡求“微數(shù)”的思想之發(fā)揚(yáng)，后來郭守敬亦如此。是世界數(shù)學(xué)史上最先進(jìn)的成就。另，將6.35寸進(jìn)成6.4寸，用了四舍五入。