凡諸對數(shù)皆定于十之對數(shù)，而十生于單一下五、六空位零一之對數(shù)。今欲以十之對數(shù)求單一下五、六空位零一之對數(shù)，勢不得不屢次開方，若借一算為單一下五、六空位零一對數(shù)，轉(zhuǎn)求十之借數(shù)，即可得其比例之率。

清·戴煦《求表捷法·對數(shù)簡術(shù)序》(《粵雅堂叢書三編》)

【評】對數(shù)在西方發(fā)現(xiàn)后不久，即傳入中國，《數(shù)理精蘊》下編卷三十八有“遞次開方法”造表法。戴煦創(chuàng)造了許多新的造表法。此為用換底公式，即lg^(1+x)＝。
論對數(shù)根^① 對數(shù)根者，諸對數(shù)之所生，即單一下無數(shù)空位零一之對數(shù)也。……今有本數(shù)，即可求折小各率，則是第五十四次開方數(shù)可以徑求矣。既可徑求，則求第一兆八千馀萬億率，不如求第一無量數(shù)率。(原注：一無量數(shù)，猶云一千或一萬。)何也？蓋一兆八千馀萬億率為第五十四次開方數(shù)之率分，其位數(shù)甚多。用連比例求得率數(shù)^②,亦有多位，(原注：即第五十四次開方數(shù)之對數(shù)。)而布算甚繁。一無量數(shù)雖極大而仍為一，不過一下有無數(shù)空位耳。以為首率，用連比例求末率，必為單位下無數(shù)空位零一。此即求對數(shù)根四率之二率數(shù)，既為一，可省多位乘法一次，且一無量數(shù)較一兆有零，為尤密也。
今定一○之對數(shù)為單一求對數(shù)根 法先以一○開平方五次，(原注：或開平方三次，三乘方一次，或開方一次，三乘方二次皆可，但取其降位易而已。)得折小第三十二率一○七四六○七八二八三二一三一七四九七為對數(shù)根之用數(shù)。(原注：用數(shù)見后，第三十二率以前各率為用數(shù)，則降位稍難。若第三十二率以后，皆可為用數(shù)，不必定用三十二率也。)置用數(shù)，減去首位單一，以除用數(shù)，得一四四○三四一九二一八八六八六五三九，為遞次除法。(原注：用數(shù)為通用除法，用數(shù)減首位為通用乘法。此即前所云以乘法除除法為遞次除法，則一次除可代一乘一除也。)乃以除法除單一，以折小率三十二乘之，得二二二一六九四六九○二四九六三二六六為第一數(shù)正。除法除第一數(shù)，一乘之，二除之，得七七一二三八六四○一○六七八三○為第二數(shù)正。除法除第二數(shù)，二乘之，三除之，得三五六九七○一六四九二五一二三為第三數(shù)正。除法除第三數(shù)，三乘之，四除之，得一八五八七七八二四九九八○五，為第四數(shù)正。
除法除第四數(shù)，四乘之，五除之，得一○三二四○九四四二○八三，為第五數(shù)正。如是遞求得五九七三一七三三七四一為第六數(shù)正。三五五四六一六三一三為第七數(shù)正。二一五九四一○四六為第八數(shù)正。一三三二六五三○為第九數(shù)正。八三二七一○為第十?dāng)?shù)正。五二五五七為第十一數(shù)正。三三四五為第十二數(shù)正。二一四為第十三數(shù)正。一四為第十四數(shù)正。一為第十五數(shù)正^③。乃并諸正數(shù)得二三○二五八五○九二九九四○四五七七為首率，單一為中率，求得末率○四三四二九四四八一九○三二五一八一一即對數(shù)根也。
按：此即以一○為本數(shù)第一率，依第一術(shù)求折小第一無量數(shù)率也。其第一數(shù)本為單一。(原注：凡求極多率者，初商恒為單一。)以對數(shù)例以單一下之零數(shù)為比例而截去首位，故置第一數(shù)不用，而竟以第二數(shù)為第一數(shù)也。其以三十二乘之者，緣用數(shù)系本數(shù)之折小第三十二率，當(dāng)于求得數(shù)后，以三十二乘之，為所求數(shù)。而以三十二乘第一數(shù)，其得數(shù)亦同也。所異者，求法既依第一術(shù)，則第二數(shù)應(yīng)以一無量數(shù)加一乘之，二無量數(shù)除之，而何以用一乘二除？不知求極多率者，無加一之差也^④。今試以九乘方言之，其率分為十，其乘法十一與除法二十之比，較一與二之比，所差尚大。若兩位九乘方，(原注：謂九十九乘方。)其率分為百，而一百零一與二百之比，較一與二之比，所差較微。若三位九乘方，(原注：謂九百九十九乘方。)其率分為千，而一千零一與二千之比較較一與二之比，其差更微。由是，推之多位九乘方，則其差必極微而可以不計矣。且非特不計已也。譬之割圓，有大弧弦求析分小弧弦，每數(shù)乘法有分子冪之減差，析之愈小，減差愈微，若求弧線，則有分母無分子，并此減差而無之。蓋稍有減差，則線亦稍有觚棱，而非真弧線矣。求對數(shù)根亦然，必須開無窮無盡極多位九乘方，并此加差而無之，然后求至數(shù)百千位而無不合。若稍有加差，則滯于第幾率，而求至多位，反不合矣。即如開平方五十四次，而所求之對數(shù)根不過十五六位。若欲增求一位，必須再開三四次，不能如前法之求幾位即得幾位者，以其滯于一兆八千馀萬億率也。然則一乘二除，二乘三除，正開無窮無盡極多位九乘方之法，無以名之，姑名為折小第一無量數(shù)率耳。

清·戴煦《求表捷術(shù)·續(xù)對數(shù)簡法》(《粵雅堂叢書三編》)

[注]①對數(shù)根即今模數(shù)。②率分即今根指數(shù)，率數(shù)即今冪指數(shù)。③此即公式④此即極限。此段用極限思想證明③中公式的正確性：。
【評】此是戴煦獨立創(chuàng)造的用展開式求對數(shù)根的方法。
論借數(shù) 借數(shù)者，自二至九共八數(shù)，借為累乘之?dāng)?shù)也。凡諸數(shù)擇八數(shù)內(nèi)之?dāng)?shù)乘之，皆可得首位為一，而下有空位，故借數(shù)不必廣求，即八數(shù)而已足。但由用數(shù)求得之之對數(shù)，必以乘法之對數(shù)減之，則必先求借數(shù)之對數(shù)。而借數(shù)雖有八數(shù)，實止三數(shù)。何也？二、五、四、八本通為一數(shù)，三、六、九亦通為一數(shù)，惟七則自為一數(shù)。故有三數(shù)之對數(shù)而八數(shù)之對數(shù)已備。有八數(shù)之對數(shù)而諸數(shù)之用數(shù)亦無不備矣。
假如有對數(shù)根，求二、與四、與五、與八之對數(shù)。法依前，求得二之用數(shù)一○二四，減去單一，得○○二四，為遞次乘法。乃以乘法乘對數(shù)根，得○○一○四二三○六七五六五六七八○四三，(原注：凡乘法在單位下，則乘得數(shù)小于原數(shù)。)為第一數(shù)正。乘法乘第一數(shù)，一乘之，二除之，得一二五○七六八一○七八八一三七為第二數(shù)負(fù)。乘法乘第二數(shù)，二乘之，三除之，得二○○一二二八九七二六一○,為第三數(shù)正。乘法乘第三數(shù)，三乘之，四除之，得三六○二二一二一五○七，為第四數(shù)負(fù)。如是遞求，得六九一六二四七三三為第五數(shù)正。一三八三二四九五為第六數(shù)負(fù)。二八四五五四為第七數(shù)正。五九七六為第八數(shù)負(fù)。一二七為第九數(shù)正。三為第十?dāng)?shù)負(fù)。乃并諸正數(shù)得○○一○四二五○六九四八六五六○○六七，又并諸負(fù)數(shù)得○○○○一二五一一二八四六七四八一一八，以負(fù)減正，得○○一○二九九九五六六三九八一一九四九，為用數(shù)之對數(shù)^①。以用數(shù)系降三位，乃于首位加三，得三○一○二九九九五六六三九八一一九四九，為一千零二十四之對數(shù)，以一千零二十四系二之倍大第十率，乃以十除之，得○三○一○二九九九五六六三九八一一九(小馀四九),為二之對數(shù)也。
求四之對數(shù)者，以四即二之倍大第二率，乃以二之對數(shù)二乘之，得○六○二○五九九九一三二七九六二三八九八，即四之對數(shù)。
求五之對數(shù)者，以二與五相乘，即十，乃以十之對數(shù)單一內(nèi)減二之對數(shù)，得○六九八九七○○○四三三六○一八八○五一，即五之對數(shù)。
求八之對數(shù)者，以八即二之倍大第三率，乃以二之對數(shù)三乘之，得○九○三○八九九八六九九一九四三五八四七，即為八對數(shù)。

清·戴煦《求表捷法·續(xù)對數(shù)簡法》(《粵雅堂叢書三編》)

[注]①此表示對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式log(1+α)=。它實際上由求出的。
【評】戴煦獨立完成的對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式與麥卡托于 1667年得到的展開式暗合。戴煦由此提出了求對數(shù)捷法。