開立方(劉徽注：立方適等，求其一面也。)術(shù)曰：置積為實。借一算，步之，超二等。(劉徽注：言千之面十，言百萬之面百。)議所得，以再乘所借一算為法，而除之。(劉徽注：再乘者亦求為方冪，以上議命而除之，則立方等也。)除已，三之為定法。(劉徽注：為當復(fù)除，故豫張三面，以定方冪為定法也。)復(fù)除，折而下。(劉徽注：復(fù)除者，三面方冪以皆自乘之數(shù)，須得折、議，定其厚薄爾。開平冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據(jù)定法已有成方之冪，故復(fù)除當以千為百，折下一等也。)以三乘所得數(shù)置中行。(劉徽注：設(shè)三廉之定長。)復(fù)借一算，置下行。(劉徽注：欲以為隅方。立方等未有定數(shù)，且置一算定其位。)步之，中超一，下超二等[原本訛作“位”,錢寶琮校改。](劉徽注：上方法，長自乘而一折。中廉法，但有長，故降一等。下隅法，無面長，故又降一等也。)復(fù)置議，以一乘中，(劉徽注：為三廉備冪也。)再乘下，(劉徽注：令隅自乘為方冪也。)皆副以加定法。以定除。(劉徽注：三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除去三冪[原本訛作袤，李潢校改]之厚也。)除已，倍下、并中，從定法。(劉徽注：凡再以中，三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪，連于兩方之面。一隅連于[原本脫以上八字，戴震校補]三廉之端，以待復(fù)除也。言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。)復(fù)除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。(劉徽注：術(shù)亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數(shù)為分也。)若積有分者，通分內(nèi)子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除^①。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一^②。

漢《九章算術(shù)·少廣》

[注]①在被開方數(shù)是分數(shù)的情形下，若分母開得盡，則②若分母不可開，則
【評】此為中國數(shù)學(xué)史上第一次提出的開立方程序及其劉徽的幾何解釋。
假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸，東頭高少于西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多于東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升，每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步。上山三當四，下山六當五，水行一當二。平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積，四縣共造，一日役畢。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問給斜正袤，與高，及下廣，并每人一日自穿、運、筑程功，及堤上下高、廣各幾何？
求堤上、下廣及高、袤術(shù)曰：一人一日程功乘總?cè)藶榈谭e。以高差乘下廣差，六而一，為鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，為大臥塹頭冪。又半高差乘上廣多東頭高之數(shù)，為小臥塹頭冪。并三冪為大小塹鱉率。乘正袤多小高之數(shù)，以減堤積，馀為實。又置半高差，及半小頭廣差與上廣多小頭高之數(shù)，并三差，以乘正袤多小頭高之數(shù)。以加率為方法。又并正袤多小高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之為廉法，從。開立方除之，即小高^①。加差即各得廣、袤、高。又正袤自乘、高差自乘，并，而開方除之，即斜袤^②。
求甲縣高、廣、正斜袤術(shù)曰：以程功乘甲縣人，以六因取積。又乘袤冪，以下廣差乘高差為法除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小高，三因之為垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭袤，即甲袤^③?！?自注：此平堤^④在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤再自乘為立方一。又塹堵袤自乘為冪一，又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法。又并小頭上、下廣，又三之，以乘小頭高為頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數(shù)乘除一頭冪為從。開立方除之，得截袤。)

唐·王孝通《緝古算經(jīng)》

[注]①設(shè)堤上廣a,東下廣b₁,西下廣b₂,東頭高h₁,西頭高h₂,長l,此為已知體積V及b₂ b₁,b₁-a,h₂-h₁,a-h₁ ,l-h₁,求h₁的三次方程：②斜囊=③設(shè)甲所筑堤堤積V₁,此為求甲縣筑堤長度l1的三次方程：。④此平堤即《九章算術(shù)》中之堤。此所筑堤由一堤(在上)與一羨除(在下)組成。
【評】祖沖之《綴術(shù)》失傳后，開帶從立方的問題最先出現(xiàn)在《緝古算經(jīng)》中，其第二——十四問都是需用三次方程解決的工程問題，此是第三問術(shù)文的一部分。實際上，《九章算術(shù)》開立方術(shù)求根的第二位得數(shù)起，就是開帶從立方。
假令有勾股相乘冪七百六、五十分之一，弦多于勾三十六、十分之九。問三事各多少？
術(shù)曰：冪自乘，倍多數(shù)而一，為實。半多數(shù)為廉法，從。開立方除之，即勾^①。以弦多數(shù)加之，即弦。以勾除冪，即股。[自注：勾股相乘冪自乘，即勾冪乘股冪之積。故以倍勾弦差而一，得一勾與半差相連，乘勾冪為方^②。故半差為廉法，從，開立方除之。)

唐·王孝通《緝古算經(jīng)》

[注]①此為已知ab,c-a,求a的三次方程：。②此援引，因此，從而建立求勾的三次方程。
【評】《緝古算經(jīng)》第十五——十八問都是基于勾股的三次方程問題，此是第十五問。其第十九、二十問系形如x⁴+ax²＝A的四次方程，其中a,A均大于0。王氏通過兩次開平方求其正根。惜影宋本殘闕嚴重，今傳本系清張敦仁校補。
立方法^①曰：(楊輝注：賈憲《細草》編寫活法。)置積為實，別置一算，名曰下法。(原注：原下之法。)于實數(shù)之下自末至首常超二位。(原注：約實，原乘之法過二位，今還原，故超二位。一下定一，千下定十，百萬下定百。)上商置第一位得數(shù)。(原注：以方數(shù)為主，自乘求商，不欲疊注，詳見《細草》。)下法之上亦置上商。(即平方面。)又乘為平方，命上商除實；訖。(原注：除去一立方也。)三因平方，一退；亦三因從方面，二退，為廉。(原注：第一位得數(shù)乃立方，其第二位有三個廉一小隅為助，三因方、廉，退方一、廉二者，蓋其數(shù)有等第也。)下法三退。(原注：原超二位，今退三位，以定上商。)續(xù)商第二位得數(shù)，下法之上亦置上商為隅。(原注：第二位中隅見在解。)以上商數(shù)乘廉、隅。(原注：以平乘高。)命上商除實，訖。(原注：第二位取用如此。)求第三位。(原注：即依第二位取用。以上商乘廉，三因隅法，并入為方。又以方法之下，復(fù)置上商，三因為廉。其方法一退，廉法再退，下法三退。)續(xù)商第三位得數(shù)。下法之上，亦置上商為隅，三因廉法，隅自乘之，皆命上商除實。(原注：見第二位解。)適盡，合問。

《九章算術(shù)·少廣》宋·賈憲細草(《永樂大典》卷一六三四四引楊輝《詳解》)

[注]①此法在《九章纂類》中楊輝稱為“賈憲立成釋鎖立方法”。
【評】賈憲的立成釋鎖立方法改進了《九章算術(shù)》的方法，與現(xiàn)今方法無異。