開方(劉徽注：求方冪之一面也。)術曰：置積為實。借一算，步之，超一等。(劉徽注：言百之面十也，言萬之面百也。)議所得，以一乘所借一算為法，而以除①。(劉徽注：先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。)除已，倍法為定法。(劉徽注：倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。)其復除，折法而下。(劉徽注：欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。如是當復步之而止，乃得相命，故使就上折下。)復置借算步之如初，以復議一乘之，(劉徽注：欲除朱冪之角，黃乙之冪，其意如初之所得也。)所得，副以加定法，以除。以所得副從定法。(再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。)復除，折下如前。若開之不盡者為不可開，當以面命之^②。(劉徽注：術或有以借算加定法而命分者^③,雖粗相近，不可用也。凡開積為方，方之自乘當還復其積分。令不加借算而命分，則常微少。其加借算而命分，則又微多。其數不可得而定。故惟以面命之，為不失耳。譬猶以三除十，以其馀為三分之一，而復其數可舉。不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄[各本訛作“乘”,錢寶琮校改]之數，不足言之也。)若實有分者，通分內子為定實。乃開之，訖，開其母，報除。若母不可開者，又以母[原本此處衍“再”字，李潢校刪。]乘定實，乃開之，訖，令如母而一。

漢·《九章算術·少廣》

[注]①除，在中國古代數學中有兩種涵義，一是現今“除法”的“除”,一是減的意思。此處《九章》用的是前者，即以法除實，其商的整數部分恰為“議所得”。劉徽注用的是后者，即議所得(其幾何解釋為“黃甲之面”)的平方減實。②此“面”指被開方數之面，相當于今天所謂“方根”,由以下劉徽注可以證明 。③此為劉徽前求不盡根的近似值的方法，設其根的整數部分為a,馀數為r,則。④被開方數是分數時，若分母b開得盡，則；若開不盡，則。
【評】現存古籍中，“開方”最先見之于《周髀算經》,然未給出開方程序。此為在中國第一次出現的開平方程序及劉徽的幾何解釋，值得注意的是劉徽求微數，以十進分數表示無理根的近似值的方法，開后來十進小數之先河，且為圓周率精確計算的先決條件。
今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木。出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何？
術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之，為實。并出南北門步數為從法，開方除之，即邑方。

漢·《九章算術·勾股》

此以折而西行為股，自木至邑南[原本脫“南”字，戴震校補]一十四步為勾。以出北門二十步為勾[原本訛作“弦”,戴震校正]率，北門至西隅為股率[原本此處衍“單望”二字，戴震校刪]即半廣數。故以出北門乘折西行股，以半股[原本“折西”訛作“至南”,脫“半”下“股”字，參考戴震校正。]率乘勾之冪。然此[原本訛作“北”,戴震校正]冪居半，以西行，故又倍之，合東，盡之也。
此術之冪，東西如邑方，南北自木盡邑南[原本脫“如邑方”,“北”下衍“邑”字，戴震校改]十四步之冪。各南、北步為廣，邑方為袤，故連兩廣為從法[原本“從法”誤倒，戴震校正],并以為隅外之冪也。

《九章算術·勾股》三國魏·劉徽注

【評】現今求方程的正根，中國古代都稱開方術。求形如x²+ax=b的方程的正根稱為開帶從方。開平方術中求根的第二位得數實際上是開帶從方。雖然，此問為中國古代首次提出的開帶從方問題。劉徽的兩段注文則分別用率和出入相補原理說明開方式的正確性。
今有積二十三萬四千五百六十七步。問為方幾何？
術曰：置積二十三萬四千五百六十七步為實。次借一算為下法，步之，超一位，至百而止。商置四百于實之上。副置四萬于實之下，下法之上，名為方法。命上商四百除實。除訖，倍方法，一退，下法再退。復置上商八十，以次前商。副置八百于方法之下，下法之上，名為廉法。方、廉各命上商八十，以除。訖，倍廉法，上從方法。一退方法，下法再退。復置上商四，以次前。副置四于方法之下，下法之上，名曰隅法。方、廉、隅各命上商四，除實。除訖，倍隅法從方法[原本無此六字，戴震校補]。上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一。是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

南北朝《孫子算經》卷中

【評】《孫子算經》沒有抽象性的開方術，只有例題，從編著思想和數學理論上說，比《九章算術》退步，且自求第二位得數起作商、實、方法、廉法(或隅法)、下法五行布算，亦不如《九章算術》作議所得、實、法、借一算四行布算簡捷。然繼承劉徽，以法命上商除實，且不重置借算步之，而采用退位，都是進步?！稄埱鸾ㄋ憬洝返姆椒ㄅc此同。
法曰^①:置積為實，別置一算，名曰下法。(原注：原下之法。)于實數之下，自末位常超一位。(原注：初乘時過一位，今超一位。)約實至首位盡而止。(原注：一下定一，一百下定十，萬下定百，百萬下定千。)于實上商置第一位得數。(原注：以方法一一，二二，三三，四四，五五，六六，七七，八八，九九之數為商，商本體實數。)下法之上亦置上商數。(原注：即原來法數也。)名曰方法。(原注：于本積內去其一方。)命上商除實。(原注：法實相呼，以破積數。)二乘方法，一退為廉。(原注：一方帶兩直，以助其狀如廉，故二乘退位。)下法再退。(原注：下法即定位之算，再退重定。)于上商之次，續(xù)商第二位得數。(原注：與上意同。)于廉法之次，照上商置隅。(原注：一方帶二廉，正闕一角，角即名隅。)以方、廉二法(原注：亦原乘之法也。)皆命上商，除實。二乘隅法，并入廉法，一退。(原注：倍隅入廉作一大方，以求次位得數。)下法再退。(原注：前意。)商置第三位得數。下法之上，照上商置隅，以廉、隅二法，皆命上商，除實。(原注：第二位解意同。)得平方一面之數。(原注：更有不盡之數，依第三位體面，倍隅入廉，退位商之。)

《九章算術·少廣》宋·賈憲細草(《永樂大典》卷一六三四四引楊輝《詳解》)

[注]①在《永樂大典》引楊輝《九章纂類》及《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章算法·九章纂類》中，此稱為“賈憲立成釋鎖平方法”。
【評】賈憲繼承《九章算術》的傳統(tǒng)，屏棄《孫子》、《張丘建》等將具體數字寫入術文的缺陷，同時吸取《孫子》等開方法的長處，寫出了抽象性的立成釋鎖開方法，與現今的開方程序一致。