今有物，不知其數(shù)。三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二。問物幾何？
術(shù)曰：三、三數(shù)之剩二，置一百四十；五、五數(shù)之剩三，置六十三；七、七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之剩一，則置七十；五、五數(shù)之剩一，則置二十一；七、七數(shù)之剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

南北朝《孫子算經(jīng)》卷下

【評】此“物不知數(shù)”問是中國數(shù)學(xué)史上第一次明確提出的一次同馀式組問題。根據(jù)題設(shè)，它是求滿足同余式組N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)的最小正整數(shù)N。其解答為N=2×70+3×21+2×15-2×105=23,并說明了70,21,15的選擇為70≡1(mod3),21≡1(mod5),15≡1(mod7)。此題的解法符合剩馀定理。十九世紀(jì)，英國傳教士偉烈亞力將其介紹到西方，則其解法稱為中國剩馀定理。
大衍總數(shù)術(shù)曰：置諸問數(shù)。(原注：類名有四。)一曰元數(shù)。(原注：謂尾位見單零者。本門揲蓍、酒息、斛糶、砌磚、失米之類是也。)二曰收數(shù)。(原注：謂尾位見分厘者。假令冬至三百六十五日二十五刻，欲與甲子六十日為一會而求積日之類。)三曰通數(shù)。(原注：謂諸數(shù)各有分子、母者。本門問一會積年是也。)四曰復(fù)數(shù)。(原注：謂尾位見十、或百及千以上者。本門筑堤并急足之類是也。)^①
元數(shù)者，先以兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶。(原注：或約得五，而彼有十，乃約偶而弗約奇。)或元數(shù)俱偶，約畢可存一位見偶；或皆約而猶有類數(shù)存，姑置之，俟與其他約遍，而后乃與姑置者求等約之?；蛑T數(shù)皆不可盡類，則以諸元數(shù)命曰復(fù)數(shù)，以復(fù)數(shù)格入之。
收數(shù)者，乃命尾位分厘作單零，以進(jìn)所問之?dāng)?shù)。定位訖，用元數(shù)格入之?；蛉缫饬?shù)為母，收進(jìn)分厘，以從所問，用通數(shù)格入之。
通數(shù)者，置問數(shù)，通分內(nèi)子，互乘之，皆曰通數(shù)。求總等，不約一位，約眾位，得各元法數(shù)，用元數(shù)格入之?；蛑T母數(shù)繁，就分從省通之者，皆不用元，各母仍求總等，存一位，約眾位，亦各得元法數(shù)，亦用元數(shù)格入之。
復(fù)數(shù)者，問數(shù)尾位見十以上者，以諸數(shù)求總等，存一位，約眾位，始得元數(shù)。兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶，復(fù)乘偶；或約偶弗約奇，復(fù)乘奇，皆續(xù)等，下用之?；虮舜丝杉s，而猶有類數(shù)存者，又相減以求續(xù)等，以續(xù)等約彼，則必復(fù)乘此，乃得定數(shù)。所有元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)三格，皆有復(fù)乘求定之理，悉可入之^②。
求定數(shù)，勿使兩位見偶，勿使見一太多。見一多則借用繁，不欲借，則任得一，以定相乘為衍母，以各定約衍母，各得衍數(shù)。(原注：或列各定為母于右行，各立天元一為子于左行，以母互乘子，亦得衍數(shù)。)^③
諸衍數(shù)，各滿定母，去之。不滿曰奇，以奇與定，用大衍求一入之，以求乘率。(原注：或奇得一者，便為乘率。)^④
大衍求一術(shù)云：置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商數(shù)，與左上一相生，入左下，然后乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數(shù)，隨即遞互累乘，歸左行上下，須使右上末后奇一而止，乃驗(yàn)左上所得，以為乘率?；蚱鏀?shù)已見單一者，便為乘率^⑤。
置各乘率，對乘衍數(shù)，得泛用。并泛，課衍母。多一者為正用；或泛多衍母倍數(shù)者，驗(yàn)元數(shù)奇偶同類者，損其半倍，(原注：或三處同類，以三約衍母，于三處損之。)各為正用數(shù)。或定母得一，而衍數(shù)同衍母者，為無用數(shù)，當(dāng)驗(yàn)元數(shù)同類者，而正用至多處借之。以元數(shù)兩位求等，以等約衍母為借數(shù)。以借數(shù)損有以益其無，為正用?；驍?shù)處無者，如意立數(shù)為母，約衍母，所得，以如意子乘之，均借補(bǔ)之?；蛴麖氖?，勿借任之為空，可也。然后，其馀各乘正用，為各總。并總，滿衍母去之。不滿，為所求率數(shù)^⑥。

宋·秦九韶《數(shù)書九章·大衍類》

[注]①此為秦九韶對問數(shù)的分類及界定。分成一般正整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、十的倍數(shù)四類，分別稱為元數(shù)、收數(shù)、通數(shù)、復(fù)數(shù)。②以上四段，秦九韶針對各種不同的問數(shù)，給出了“求總等，不約一位約眾位”、“兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶，或約偶弗約奇”、“求續(xù)等，以續(xù)等約彼則必復(fù)乘此”等三種處理方法，將非兩兩互素的問數(shù)化成兩兩互素即兩兩無等數(shù)的定數(shù)，使各定數(shù)分別是相應(yīng)問數(shù)的因子，各定數(shù)之積是諸問數(shù)的最小公倍數(shù)，以應(yīng)用大衍求一術(shù)，并最后計(jì)算出滿足同馀式組的答案。③此是對以上四條的補(bǔ)充。④這是秦九韶提出的一個(gè)重要命題：如果G>a,G≡g(moda),0

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，c_n便是所求的乘率k。⑥設(shè)原問題化成同馀
式是N≡R₁(modA₁)≡R₂(modA₂)≡……≡R_n(modA_n),諸A_i為問數(shù)，諸R_i為正用?；蒒≡R₁ (moda₁)≡R₂(moda₂)
≡……≡R_n(modax),諸a_i兩兩互素，為定數(shù)，諸a_i的連乘積M稱為衍母，稱為衍數(shù)，諸稱為泛用，諸稱為各總，那么，(modM)即所求。這就是所謂剩馀定理。
【評】秦九韶在中國數(shù)學(xué)史上第一次系統(tǒng)敘述了一次同馀式解法，許多成就是十八、十九世紀(jì)世界數(shù)學(xué)大師高斯等才達(dá)到的水平。由于中國古代沒有素?cái)?shù)理論，他在化非兩兩互素的問數(shù)為兩兩互素的定數(shù)的方法上走了某些彎路，也有失誤，但他開辟草萊的功績是不可抹煞的。
自《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”一題有術(shù)無草，后人罕通其妙，遂無有論及者。宋秦氏道古以大衍釋之，其法始顯。
國朝駱氏春池^①、張氏古愚各有專書，然求等約分，頭緒不一，初學(xué)茫然。近日時(shí)君清浦^②《求一術(shù)指》立法稍簡，亦僅識其當(dāng)然，而于所以然終闕如也。同治癸酉左君壬叟^③衍《通分捷法》一帙，將分母、分子析為各數(shù)根，任以多項(xiàng)通分，頃刻可得，可謂善于求較者矣。余因悟大衍術(shù)析各泛母以求定母，形跡顯露，術(shù)理朗然，較之舊術(shù)，簡而愈詳。

清·黃宗憲《求一術(shù)通解·序》

[注]①清駱騰風(fēng)著《藝游錄》,張敦仁著《求一算術(shù)》,均討論大衍求一術(shù)。②即時(shí)曰醇。③即左潛。
【評】黃宗憲概述了到他為止大衍求一術(shù)的歷史及秦九韶等學(xué)者的貢獻(xiàn)。
今有數(shù)不知總。任命一數(shù)累減之。(原注：或有剩，或無剩。)復(fù)易一數(shù)累減之。(原注：或有剩，或無剩。)再易一數(shù)累減之。(原注：或有剩，或無剩。)欲求總數(shù)，其術(shù)如何？
答曰：答數(shù)無窮。(原注：理固如是，然各題所求，總以初答為主。)
按：此指三次減數(shù)，即《孫子》原術(shù)也。凡制題，自兩次以至多次，皆可任意命數(shù)，求法不殊。
術(shù)曰：置各減數(shù)，分行列之，曰泛母。析泛母(原注：析法詳后),為諸數(shù)根^①。(原注：凡二、三、五、七，及不能成冪之?dāng)?shù)，皆曰數(shù)根。)以求定母。(原注：求法詳后。)各定母連乘，為衍母。復(fù)以定母除衍母，得其衍數(shù)。(原注：或以馀位定母連乘，亦得本位衍數(shù)。)再以定母累減衍數(shù)以求一。其初次減得一者，即以衍數(shù)為用數(shù)。若初次未減得一者，則輾轉(zhuǎn)互減以求之，必至衍數(shù)得一而止。其所寄數(shù)(原注：求法詳后)為乘率，以乘衍數(shù)得用數(shù)。仍分位列之為一表。乃視題中某位剩數(shù)若干，(原注：某位無剩數(shù)，則棄之不用。)以本位用數(shù)乘之為總數(shù)。逐位求總數(shù)畢，乃并之為所求率。每減衍母一次得一答。不足減者即初答。(原注：若每加衍母，則答數(shù)無窮。)
析泛母法
置各行泛母為實(shí)，先以二、三、五、七各小根為法，逐行分次累除之，至四小根皆不受除，乃驗(yàn)不受除之?dāng)?shù)，皆成根即止?；蛴形闯筛撸瑒t以除得之根為法除之，至皆不受除，再驗(yàn)不受除之?dāng)?shù)，皆成根即止。抑或有未成根又不受已得各根之除者，以未成根之?dāng)?shù)求等，以等為法除之，至各數(shù)皆無等而止。書其末次得數(shù)，及每次用以為法之?dāng)?shù)于本位下，是為諸根。
求定母法
前法析泛母畢，乃遍視各同根，(原注：如三與三，五與五之類。)取某行最多者用之。馀行所有，棄之不用。再視本行所有異根，(原注：如三與五之類。)或少于他行，則棄之。(原注：因他行已用，則此行必棄。)抑或多于馀行，亦用之?；蛴谒凶疃嗾叩?，則此兩行隨意用之。(原注：用此則棄彼，用彼則棄此。)以所用數(shù)根連乘之，即得本行定母。若某行各根皆少于他行者，則此位無定母。
求寄數(shù)法
列定母于右行，列衍數(shù)于左行。(原注：左角上預(yù)寄一數(shù)。按：預(yù)寄一數(shù)者，是記此一個(gè)衍數(shù)也。原書謂之立天元一。)輾轉(zhuǎn)累減，(原注：凡定母與衍數(shù)輾轉(zhuǎn)累減，則其上所寄數(shù)必輾轉(zhuǎn)累加。至衍數(shù)馀一即止。視左角上寄數(shù)為乘率。(原注：若求反乘率，至定母馀一即止。視右角上寄數(shù)為反乘率。)
按：兩數(shù)相減，必以少數(shù)為法，多數(shù)為實(shí)。其法上無寄數(shù)者，不論減若干次，減馀數(shù)上仍以一為寄數(shù)。其實(shí)上無寄數(shù)者，減馀數(shù)上以所減次數(shù)為寄數(shù)。其法上實(shí)上俱有寄數(shù)者，視累減若干次，以法上寄數(shù)亦累加若干次于實(shí)上寄數(shù)中，即得減馀數(shù)上之寄數(shù)矣。

清·黃宗憲《求一術(shù)通解》卷上

[注]①數(shù)根即素因子。
【評】黃宗憲在前人工作的基礎(chǔ)上，采用將模數(shù)分解成素因數(shù)的方法求定數(shù)，克服了秦九韶因?yàn)闆]有素?cái)?shù)概念所走的彎路及失誤，圓滿地解決了大衍求一術(shù)的求定數(shù)問題。