今有茭草，底子每面五十四束，問積幾何？
術(shù)曰：副置五十四束，下位添一束，以乘上位，得二千九百七十，半之，得積^①,合問。

元·朱世杰《算學(xué)啟蒙·堆積還源》

〔注〕①此實(shí)際上給出了自然數(shù)列1,2,3,……前n項(xiàng)和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高階等差級(jí)數(shù)研究的開端。
今有三角垛果子，每面底子四十四個(gè)，問共積幾何？
術(shù)曰：列底子，添一〔原本訛作三，今校正〕,以底子乘之，得數(shù)，又添二，又以底子乘之，得九萬(wàn)一千八十為實(shí)，以六為法，實(shí)如法而一^①,合問。

元·朱世杰《算學(xué)啟蒙·堆積還源》

〔注〕①此三角垛求和公式，楊輝已給出。朱世杰在“茭草形段”的第一問中指出它系由茭草垛“落一形垛之”而成，即由茭草垛的前r項(xiàng)和作為三角垛的第r項(xiàng)。
今有茭草一千八百二十束，欲令撒星形垛之，問底子幾何？
術(shù)曰：立天元一為撒星底子，如積求之，得四萬(wàn)三千六百八十為益實(shí)，六為從方，一十一為從上廉，六為從下廉，一為正隅，三乘方開之^①,合問。
草曰：立天元一為撒星底子，以天元加一得乘之，得，又以天元加二得乘之，得，又以天元加三得乘之，得，合以二十四除之，為共積^②。今不除，便為二十四段共積寄左。乃以二十四通共束，得四萬(wàn)三千六百八十為同數(shù)，消左，得，開三乘方，得十三束，合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·茭草形段》

[注]①此為四次開方式x⁴+6x³+11x²+6x-43680=0。②此為三階等差級(jí)數(shù)1,4,10,20,35,……的前n項(xiàng)和公式，在“如象招數(shù)”門第2、3、5問中稱作“三角落一”形垛，即三角垛的前r項(xiàng)之和為撒星形垛的第r項(xiàng)：
今有茭草八千五百六十八束，欲令撒星更落一形垛之，問底子幾何？
術(shù)曰：立天元一為撒星更落一底子，如積求之，得一百二萬(wàn)八千一百六十為益實(shí)，二十四為從方，五十為從上廉，三十五為從二廉，一十為從三廉，一為正隅，四乘方開之^①,合問。
草曰：立天元一為撒星更落一底子，加一得，乘天元，得，又以天元加二，得，乘之，得，又以天元加三，得，乘之，得，又以天元加四得，乘之，得，合以一百二十除之，為共積^②。今不除，便為一百二十段共積，寄左。乃以一百二十通共束，得一百二萬(wàn)八千一百六十為同數(shù)，消左，得，開四乘方，得十四束，合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·茭草形段》

[注]①此為五次開方式x⁵+10x⁴+35x³+50x²+24x-1028160=0。②此為四階等差級(jí)數(shù)1,5,15,35,70,126,……的前n項(xiàng)和公式。此問中稱作撒星更落一形垛，蓋撒星形垛之前r項(xiàng)之和便為撒星更落一形垛的第r項(xiàng)：

在“如象招數(shù)”門第5問中稱作三角撒星形垛。
今有三角撒星更落一形果子，積九百二十四個(gè)。問底子幾何？
術(shù)曰：立天元一為三角撒星更落一底子，如積求之，得六十六萬(wàn)五千二百八十為益實(shí)，一百二十為從方，二百七十四為從上廉，二百二十五為從二廉，八十五為從三廉，一十五為從四廉，一為正隅，五乘方開之^①,合問。
草曰：立天元一為三角撒星更落一底子，以天元加一得，乘之得，又以天元加二，得，乘之，得，又以天元加三，得，乘之，得，又以天元加四，得，乘之，得，又以天元加五，得，乘之，得，合以七百二十除之，為共積^②。今不除，便為帶分共積(原注：內(nèi)寄七百二十為母。),寄左。乃以七百二十通共積，得六十六萬(wàn)五千二百八十，為同數(shù)，消左，得，開五乘方，得七個(gè)，合問。

元·朱世杰《四元玉鑒·果垛疊藏》

[注]①此為六次開方式x⁶+15x⁵+85x⁴+225x³+274x²+120x-665280=0。②此為五階等差級(jí)數(shù)1,6,21,56,126,252,462,……的前n項(xiàng)和公式，稱為三角撒星更落一形垛，即三角撒星垛的前r項(xiàng)之和是其更落一形垛的第r項(xiàng)：

【評(píng)】以上五條公式是朱世杰關(guān)于三角垛公式的研究。它們雖然分散在不同的著作不同的門類問題中，卻明顯自成系統(tǒng)，并且有遞推關(guān)系：

顯然，當(dāng)p=1,2,3,4,5時(shí)便是上述諸式。并且，它們依次是賈憲三角的第二、三、四、五、六條斜線上的數(shù)字。據(jù)信，朱世杰用歸納法得到這類公式。
一乘垛元而成，二乘垛迭一乘垛而成，三乘垛迭二乘垛而成，四乘垛迭三乘垛而成，五乘垛以上可類推。
三角垛有高求積術(shù)：
一乘垛：置高，以高加一乘之，為實(shí)，二為法，得積。
二乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，為實(shí)，二、三相乘為法，得積。
三乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之，為實(shí)，二、三、四連乘為法，得積。
四乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之，又以高加四乘之，為實(shí)，二、三、四、五連乘為法，得積。
凡有高求積者，置高，以高遞加一，累乘之，加至如本乘垛數(shù)乘之而止(如三乘垛，加三乘之而止也),為實(shí)，以一、二、三諸數(shù)連乘至視本乘垛數(shù)多一而止(如四乘垛，連乘至五而止也),為法，實(shí)如法而一，得積。

清·李善蘭《垛積比類》卷一(見《則古昔齋算學(xué)》)

【評(píng)】以上為李善蘭關(guān)于三角垛之積公式的概括性系統(tǒng)論述，即為朱世杰在各具體問題中所使用的公式：